Fraktálok

1. Fraktálok

2. Iteráció • A természetben, a technikai megoldásokban gyakran találkozunk azzal a jelenséggel, hogy egy történés eredménye a megismétlődő történés kiindulópontjává válik. Ezt a jelenséget nevezzük visszacsatolásnak. • A matematikában hasonló elven működő számításokat iterációnak nevezzük. • Egy egyszerű iterációt mutat be az alábbi rekurzív definícióval megadott sorozat.

3. pl.: a0=0,6 0,36 0,1296 0,0168… 0,0003… … 0 a0=1,4 1,96 3,8416 14,7579… 217,795… ... ∞ Példa iterációra: an+1=an2 n≥2

4. Nemlineáris sor: an+1=an2+c (ahol c tetszőleges állandó) pl.: c = −1 a0=0,5 -0,75 -0,4375 -0,8085… -0,9492… -0,0985… -0,9902… -0,0194… -0,9996… -0,0007…

5. c= −1 a0=1,618033 1,61803078… 1,61768311… 1,49563246… 1,23691647… 0,52996235… -0,71913989… -0,48283780… -0,76686765… -0,41191400… c= −1 a0=1,618034 1,61803402… 1,61807579… 1,61847176… 1,77675278… 2,15685046... 3,65200391… 12,3371325… 151,204840… 22861,9036… 522666638,7… an+1=an2+c

6. Komplex számok • A komplex számok 2 részből állnak, s a koordináta síkon tudjuk őket ábrázolni. • A szám 2 része adja meg a két koordinátát. • Az x tengelyen mért koordináta a szám valós részét jelenti, míg az y tengelyen mért az ún. képzetes részt.

7. Az y tengelyen lévő egység neve i, jelentése √-1, amely számot R-ben nem találunk, de képzeljük el formálisan egy, ennek a szimbólumnak megfelelő számot, nevezzük el képzetes egységnek. Komplex számok alakja és helye ily módon: pl.: z1=5+3i z2=-3+1i z3=2-2i képzetes rész 3 z1 z2 valós rész -3 5 -2 z3

8. Benoît Mandelbrot(1924-2010) • 1924-ben született Varsóban • A fraktálgeometria megalkotója.Róla nevezték el a - talán legismertebb fraktált - , a  Mandelbrot-halmazt. • Az IBM kutatómunkatársaként 1975-ben először jelenítette meg számítógépén a Mandelbrot-halmazt. • 2010. október 14-én hunyt el.

9. A fraktál szó eredete fractus(lat):törött, töredezett fraktál Az elnevezés utal ezen alakzatok végtelen finom, töredezett szerkezetére és arra is, hogy dimenziójuk gyakran egy tört szám.

10. Hogyan lehet a dimenzió tört szám? • hasonlósági dimenzió • box-dimenzió

11. a a/2 A négyzet a oldalát a felére, vagyis egykettedszeresére csökkentettük. Az így kapott négyzetből viszont már négy darab kell az eredeti négyzet lefedéséhez. 2 D = 4 D = 2 Box-dimenzió

12. Az ún. Koch-hópelyhet úgy hozhatjuk létre, hogy a háromszög egyik oldalát harmadrészére csökkentjük, és 4 ilyen vonalból hozunk létre egy tört vonalat az ábrán látható módon. A kitevő itt is a box-dimenziót adja meg, ami ebben az esetben tört szám lesz. 3D= 4 D = 1,26

13. Több iteráció elvégzése után láthatjuk, hogy a fraktálunk szép hópehely-alakot formáz.

14. Színezés Azokat a pontokat, amelyek végtelen iteráció után is a képernyőn maradnak, feketére színezzük. A többi pontot pedig tetszés szerint kiszínezzük aszerint, hogy hányadik lépés után szalad el a végtelenbe.

15. (Kísérlet: fraktálnövesztés mézben,webkamerás élő kivetítés a vászonra)

16. Fraktálok a természetben • A természetben gyakran találkozhatunk fraktálszerű képződményekkel. Erre látványos példa pl. a páfrány: Valódi páfrány Számítógép által generált fraktál

17. Ha figyelmesen megvizsgálunk több természeti képződményt, szintén fraktálszerű alakzatokkal találkozhatunk. Felhők kialakulása Tibeti hegyvonulat

18. Ez a kép valóságosnak tűnik… Pedig teljes egészében számítógép által lett generálva, mégpedig a fraktálgeometria segítségével. Filmekben gyakran alkalmazzák ezt a módszert hátterek, tájképek készítéséhez.