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Introdução a Processos Estocásticos. Estacionaridade. Júlio César e Melo. Evolução de um sistema. Sistemas dinâmicos Estrutura matemática Modelo determinístico Futuro totalmente previsível E quando o houver alguma “aleatoriedade intrínseca”?
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Introdução a Processos Estocásticos Estacionaridade Júlio César e Melo
Evolução de um sistema • Sistemas dinâmicos • Estrutura matemática • Modelo determinístico • Futuro totalmente previsível • E quando o houver alguma “aleatoriedade intrínseca”? • “Apesar de tendências ou correlações fortes existirem, sempre há algum elemento de incerteza.”
Sistemas dinâmicos Estrutura matemática Modelo determinístico Futuro previsível Processo estocástico Estrutura matemática Fenômeno com incerteza Evolução de um sistema
Processo estocástico • Três componentes: • Espaço de estados • Linha do tempo • Ordenado linearmente • Estrutura que permite ir precisamente à frente ou para trás • Medida de probabilidade
Processo Estacionário • Características estatísticas não se alteram com o tempo. • Sentido estrito • Distribuição de probabilidade não varia com o tempo.f(x1,...,xn;t1,...,tn) = f(x1,...,xn; t1+ c, ..., tn + c) • Sentido amplo • A média, variância e correlação não variam com o tempo.
Aplicação prática • Economia – Anti-truste • Preço relativo no mesmo mercado deve ser estacionário • Exemplo:Preço do salmão escocês em relação ao preço do salmão norueguês (Fonte: Lexecon. Market Definition: How Stationarity Tests Can Improve Accuracy. Disponível em: http://www.lexecon.co.uk/assets/stationarity.pdf)
Preço do salmão escocês relativo ao salmão norueguês na Inglaterra
Estacionaridade no sentido amplo Ruído branco Processo Estacionário Em função de t - s
Processo estacionário • Auto-regressivo • Condição de estacionaridade: • Teste da hipótese nula verifica estacionaridade
Processo estacionário • Trend-stationarity • Obtém-se um processo estacionário removendo-se uma tendência temporal
Processo estacionário (Fonte: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc442.htm)
Processo estacionário (Fonte: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc442.htm)
Processo estacionário • Difference-Stationary
Processo estacionário discreto • Processo Bernoulli • Processo estocástico sem memória • Estacionário para p e q constantes P{k = r} =
Processo estacionário discreto • Processo Markov Estacionário • Relógio de um computador com n estados • Distribuição de probabilidade de um único estado que seja consistente para qualquer momento: [ 1/n, 1/n, ..., 1/n ]
Definição f(x1,...,xn;t1,...,tn) = f(x1,...,xn; t1+ c, ..., tn + c) • Estacionaridade de N-ordem • n ≤ N • Estacionaridade em um intervalo • Para todo ti e ti + c no próprio intervalo
Definição • Incremento estacionário • y(t) = x(t + h) – x(t) forma um processo estacionário para todo h • Processo estacionário contínuo • Não é importante “quando” começa o processo estacionário
Conclusão • Estacionaridade em processo estocástico • Tipos de estacionaridade • Aplicação prática
Bibliografia • Pivato, Marcus. Stochastic Processes and Stochastic Integration. 21 fev. 1999. • Papoluis, A. Probability, Random Variables and Stochastic Process. 2002. • NIST/SEMATECH.e-Handbook of Statistical Methods. Disponível em: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/ • Johnson, D. The Poisson Process. Disponível em: http://cnx.rice.edu/content/m11255/latest/ • Lexecon. Market Definition: How Stationarity Tests Can Improve Accuracy. Disponível em: http://www.lexecon.co.uk/assets/stationarity.pdf
