enallax/exams/ckat/konikes/conics

1. www.enallax.com/exams/ckat/konikes/conics.ppt Κωνικές τομές loizos@enallax.com

2. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΘΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΌ ΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ ΤΟΥ 2

3. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΘΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΌ ΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ ΤΟΥ Α) Κύκλος Το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα Γ) Έλλειψη Το επίπεδο δεν είναι Παράλληλο με καμία γενέτειρα . Β) Παραβολή Το επίπεδο είναι // με μια γενέτειρα. Δ) Υπερβολή Το επίπεδο είναι // με δυο γενέτειρες 3

4. Παραβολή • Ο Γ.Τ. του σημείου του επιπέδου το οποίο κινείται έτσι ώστε οι αποστάσεις του από σταθερό σημείο Ε και από σταθερή ευθεία (δ) να είναι ίσες. • Το σημείο Ε λέγεται εστία της παραβολής • Η σταθερή ευθεία (δ) λέγεται διευθετούσα.

5. ΠΑΡΑΒΟΛΗy2=4αx Εστία το σημείο Ε(α,0) Διευθετούσα η ευθεία χ+α=0 Κορυφή το σημείο (0,0)  Άξονας της παραβολής είναι ο άξονας χ΄χ  Χορδή είναι το τμήμα που συνδέει 2 σημεία της παραβολής Latus rectumΗ χορδή ΓΔ που είναι κάθετη στον άξονα και περνά από την εστία

6. Παραβολή στη ζωή μας

7. Εξίσωση παραβολήςμε κορυφή (0,0)

8. Για να βρούμε την εστίατης παραβολής : Παράδειγμα: x2=24y 4α=24 α=6 Ε(0,6) (Η εστία είναι στον κάθετο άξονα) 4αείναι ο συντελεστής του χ ή y.

9. Παραδείγματα Παραβολής Παράδειγμα 1 y = 4x2 x2= (1/4)y 4α = 1/4 α = 1/16 Εστία Ε(0, 1/16) Διευθετούσα Y = - 1/16

10. Παράδειγμα 2 Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα x = -3y2 y2= (-1/3)x 4α = -1/3 α = -1/12 εστία (-1/12, 0) Διευθετούσα x = 1/12

11. Εξίσωση παραβολής Παραδ.1 Εστία Ε (-4,0) Εξίσωση: y2 =4αx α = -4 y2 = 4(-4)x y2 = -16x

12. Εξίσωση παραβολής Παρ. 2 Να βρείτε την εξ. παραβολής με διευθετούσα y = 6 Εξίσωση: x2 =4αy α = -6 x2 = 4(-6)y x2 = -24y

13. Εξίσωση παραβολής Παραδ.3 Να βρείτε την εξίσωση παραβολής με διευθετούσα x = -1 y2 = 4x

14. Εξίσωση παραβολής Παραδ 4 Να βρείτε την εξίσωση παραβολής με εστία Ε (0,3) x2 = 12y Αρχή

15. Παραμετρικές εξισώσεις παραβολής

16. Θέση ευθείας ως προς παραβολή H ευθεία δεν έχει κανένα κοινό σημείο Δ<0 H ευθεία εφάπτεται της παραβολής Δ=0 H ευθεία τέμνει την παραβολή Δ>0 Η ευθεία τέμνει την παραβολή σε ένα σημείο.H ευθεία είναι // με άξονα συμμετρίας

17. Η θέση του σημείου Α(x1,y1) ως προς την παραβολή y2=4αx

18. Κύκλος Ο Γ.Τ του σημείου Τ(χ,y) του επιπέδου το οποίο κινείται έτσι ώστε να απέχει σταθερή απόσταση R από ένα σταθερό σημείο Κ.

19. Εξίσωση κύκλου με κέντρο (0,0) και ακτίνα R

20. Εξίσωση κύκλου με κέντροΚ(α,β) και ακτίνα R

21. Εξίσωση κύκλου με κέντροΚ(-g, -f)

22. ΚύκλοςΠαράδειγμα 1 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο (0,0) και περνά από το σημείο (4,5) .

23. Υπολογίζουμε την ακτίνα με το τύπο :

24. Παράδειγμα.2Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας y=2x+2 και του κύκλου με εξ. X2+y2=25

25. Και μετά ?

26. Παραδ. 2 Για να βρω τις τετμημένες: Αντικαθιστώ το x.

27. Παράδειγμα 2

28. H ευθεία τέμνει τον Κύκλο Δ>0 d<R • Θέση ευθείας κύκλου H ευθεία εφάπτεται στον Κύκλο Δ= 0 d= R Κανένα κοινό σημείο Δ<0 d >R

29. Μήκος εφαπτόμενου τμήματος

30. Θέση σημείου Τ(x1 ,y1)ως προς κύκλο

31. Ριζικός άξονας • Ριζικός άξονας δυο κύκλων είναι ο γ.τ (γεωμετρικός τόπος) των σημείων των όποιων οι δυνάμεις (ως προς τους κύκλους ) είναι ίσες . Εξίσωση ριζικού αξονα

32. Παραμετρικές Εξισώσεις κύκλου

33. Εξίσωση εφαπτομένης

34. Εφαπτόμενες κύκλου από σημείο εκτός αυτού Αρχή

35. Έλλειψη Παραδείγματα Έλλειψης

36. Ορισμός • Έλλειψη είναι ο Γ.Τ τόπος του σημείου του επιπέδου που κινείται έτσι ώστε οι αποστάσεις του από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε’ του επιπέδου να έχουν σταθερό άθροισμα Τα σημεία Ε, Ε’ είναι οι εστίες της έλλειψης

37. Έλλειψη Οι εστίες είναι στο οριζόντιο άξονα α>β

38. Εστίες Ε’(-γ,0) & Ε(γ,0) Κορυφές (0,β)& (0,-β) Εξίσωση ελλειψης Κορυφές (-a,0) & (a,0) Κέντρο (0,0)

39. Έλλειψη Οι εστίες είναι στον κάθετο άξονα β>α

40. Εστίες (0,-γ) & (0,γ) κορυφές (α, 0)& (-α,0) Εξίσωση ελλειψης κορυφές (0,-β) & (0, β) Κέντρο (0,0)

41. Έλλειψη • Η εστιακή απόσταση είναι : (ΕΕ’)=2γ • Για να βρούμε τις εστίες : γ2 = a2 -β2με α > βή γ2 = β2 -α2με β>a • Εκκεντρότητα • Διευθετούσες

42. Παραμετρικές εξ.της έλλειψης

43. Παραδείγματα

44. Na βρείτε την εξίσωση και τις εστίες της έλλειψης με κορυφές (5,0) ,(5,0) ,(0,-3) ,(0,3).

45. Να βρείτε τις κορυφές και τις εστίες της έλλειψης:

46. Να βρείτε την εξίσωση των εφαπτόμενων της έλλειψης που άγονται από το σημείο Α(3,3) . Προσοχή!!! Από το σημείο Α(3,3) άγεται και η x = 3 ( η τιμή του λ δεν ορίζεται)

47. Δίδεται η έλλειψη και τυχαίο σημείο της Ρ. Η ΚΡ είναι κάθετη στο άξονα οy και ΡΤ = ΚΡ. Αν Λ είναι το σημείο τομής της ΟΡ και ΑΤ να βρείτε τον Γ Τ του σημείου Λ.

48. Υπερβολή

49. Υπερβολή

50. Yπερβολή Ορισμός : Υπερβολή είναι ο Γ.Τ. των σημείων του επιπέδου που κινείται έτσι ώστε η απόλυτη τιμή της διαφοράς από δυο σταθερά σημεία Ε, και Ε’ να είναι σταθερή . Τα σημεία Ε,Ε’ είναι οι εστίες της υπερβολής