第五章 相似原理和量纲分析

1. 第五章 相似原理和量纲分析

2. 第五章 相似原理和量纲分析 §5.1流动的力学相似 §5.2 动力相似准则 §5.3 流动相似条件 §5.4 近似的模型试验 §5.5量纲分析法

3. §5.1 流动的力学相似 三类表征流动过程的物理量： 流场的几何形状 流体微团的运动状态 流体微团的动力性质 一、几何相似 模型与原形的全部对应线形长度的比例相等 长度比例尺 面积比例尺 体积比例尺

4. §5.1 流动的力学相似 二、运动相似 模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。 速度比例尺 时间比例尺 加速度比例尺

5. §5.1 流动的力学相似 二、运动相似（续） 模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。 体积流量比例尺 运动粘度比例尺 角速度比例尺

6. §5.1 流动的力学相似 三、动力相似 模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。 力的比例尺 ——总压力 ——切向力 ——重力 ——惯性力

7. §5.1 流动的力学相似 四、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系 • 几何相似是流动力学相似的前提条件。 • 动力相似是决定运动相似的主导因素。 • 运动相似是几何相似和动力相似的表现。 几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型流场相似的重要特征。

8. §5.1 流动的力学相似 五、基本比例尺、其它动力学比例尺 常选取ρ、l、v的比例尺为为基本比例尺 长度比例尺 速度比例尺 密度比例尺

9. §5.1 流动的力学相似 五、基本比例尺、其它动力学比例尺（续） 用基本比例尺表示的其它动力学比例尺 力的比例尺 力矩（功、能）比例尺 压强（应力）比例尺 功率比例尺 动力粘度比例尺

10. §5.2 动力相似准则 一、牛顿相似准则 模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等。 ——牛顿数

11. §5.2 动力相似准则 二、各单项力相似准则 模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上的各种性质的力（如重力、粘滞力、总压力、弹性力、表面力等）都要服从牛顿相似准则，即各单项力作用下的相似准则）。 弹性力相似准则 重力相似准则 • 非定常性相似准则 粘滞力相似准则 • 表面力相似准则 压力相似准则

12. §5.2 动力相似准则 二、各单项力相似准则（续） 1.重力相似准则 在重力作用下相似的流动，其重力场相似。 代入 Fr——弗劳德数，惯性力与重力的比值。

13. §5.2 动力相似准则 二、各单项力相似准则（续） 2.粘滞力相似准则 在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。 代入 Re——雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。

14. §5.2 动力相似准则 二、各单项力相似准则（续） 3.压力相似准则 在压力作用下相似的流动，其压力场相似。 代入 Eu——欧拉数，总压力与重力的比值。

15. §5.2 动力相似准则 二、各单项力相似准则（续） 4.弹性力相似准则 对于可压缩流的模型试验，由压缩引起的弹性力场相似。 代入 Ca——柯西数，惯性力与弹性力的比值。

16. §5.2 动力相似准则 二、各单项力相似准则（续） 4.弹性力相似准则（续） 弹性力相似准则（气体） 对于气体满足 （c为声速）， Ma——马赫数，惯性力与弹性力的比值。

17. §5.2 动力相似准则 二、各单项力相似准则（续） • 5.非定常性相似准则 对于非定常流动的模型试验，模型与原型的流动随时间的变化必相似。 代入 Sr——斯特劳哈尔数，当地惯性力与迁移惯性力的比值。

18. §5.2 动力相似准则 二、各单项力相似准则（续） • 6.表面力相似准则 在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布相似。 代入 We——韦伯数，惯性力与张力的比值。

19. §5.3 流动相似条件 一、流动相似条件 保证流动相似的必要和充分条件。 • 1.相似的流动都属于同一类的流动，应为相同的微分 • 方程所描述。 • 2.单值条件相似。 几何条件 边界条件（进口、出口的速度分布等） 物性条件（密度、粘度等） 初始条件（初瞬时速度分布等） 3.由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。

20. §5.3 流动相似条件 二、流动相似条件解决的问题 1.应根据单值条件相似和相似准则数相等的原则去设计模型，选择模型中的流动介质 2.试验过程中应测定相似准则数包含的一切物理量，并整理成相似准则数 3.按相似准则数整理的试验结果，可推广应用到原型及其他相似流动中去

21. §5.4 近似的模型试验 在设计模型和组织模型试验时，在与流动过程有关的定性准则中只考虑那些对流动过程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的定性准则，以达到模型流动与圆形流动的近似相似。

22. 例3：溢水堰模型，kl=1/20，测得模型流量为300L/s，水的推力为300N，求实际流量和推力例3：溢水堰模型，kl=1/20，测得模型流量为300L/s，水的推力为300N，求实际流量和推力 解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则 佛劳德准则：

23. 温度不变的水： 由佛劳德准则

25. §5.5 量纲分析法 一、物理方程量纲一致性原则 量纲： 物理量单位的种类，用符号dim表示。 基本量纲： 长度（L）、时间（T）、质量（M）、温度（） 速度dimv=LT-1、加速度dima=LT-2、密度dim=ML-3 力dimF=MLT-2、压强dimp=ML -1 T-2 表面张力dim=MT-2、体积模量dimK=ML -1 T-2 动力粘度dim=ML -1 T-1、运动粘度dim=L2 T-1 比热容dimcp= dimcV=L 2 T-2-1 气体常数dimR=L 2 T-2 -1 导出量纲：

26. §5.5 量纲分析法 一、物理方程量纲一致性原则（续） • 1.物理方程量纲一致性原则 • 任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的。 2.准则方程式 • 无量纲的物理方程，是用相似准则数表示的物理方程。

27. §5.5 量纲分析法 二、瑞利法 瑞利法是用定性物理量x1、 x2、…. 、 xn的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量y。 k为无量纲系数，由试验确定。 a1、 a2、…. 、an为待定指数，根据量纲一致性原则求出。

28. §5.5 量纲分析法 三、 定理（泊金汉定理） 如果一个物理过程涉及到 n个物理量和m个基本量纲，则这个物理过程可以由n个物理量组成的n-m个无量纲量（相似准则数i）的函数关系来描述。

29. 一、π定理 N=f(n1,n2,n3,…,ni,…nk) 取n1,n2,n3作为基本单位。 1）基本单位应该是名自独立的 2）利用这几个基本单位应该能够导出其它所需要的一切物理量的单位

30. Π定理

31. Π定理（E.Buckingham）定理）

33. Example • 管中流动的沿程水头损失（Δp）

34. Example

35. 例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤

36. a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系 b.选取基本量 常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ 基本量独立条件：指数行列式不等于零

37. c.基本量依次与其余物理量组成π项，共n－m=7－3=4个c.基本量依次与其余物理量组成π项，共n－m=7－3=4个

38. d.决定各π项的基本量的指数 比较两边系数 M L T

39. 得a1=2，b1=0，c1=1 同理 e.整理方程式

41. 应用量纲分析法应注意 • 必须知道流动过程包含的全部物理量 • 常数需靠实验来确定 • 不能区分量纲相同而意义不同的物理量

42. 作 业 • 5-2 • 5-3 • 5-4