第六节 函数图形的描绘

1. 第六节 函数图形的描绘 综合上述,要作出函数的图形,可以按如下步骤进行 (1)考察函数的基本性质,例如定义域,奇偶性,周期性,连续 性等以便作图;奇偶性,周期性使画图简单. (2)确定图象上的一些特殊点,例如与坐标轴的交点f(x)=0, 顶点f’=0, 间断点和始(终)点. (3)利用导数研究函数的单调区间与极值,凹凸区间与拐点.

2. 例5 作出例4中函数的图形 (4)求出曲线的全部渐近线 (5)需要时可由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标. (6)列表表示上述讨论的结果,在坐标系里画出渐近线和控制 点(各种特殊点,包括极值顶点,拐点等),再根据单调性与凹 凸性,可确定曲线的走向,画出该曲线.

3. (2) (1) 定义域为x≠1的实数;当x=1时为间断点, x=0时y=-9/4, y=0,x=3曲线与两条坐标轴的交点 为(0,-9/4), (3,0)

4. 令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函数的定义域 分成四个区域: 曲线在(-∞,-1],[3,+ ∞)之内y’>0,函数单调上升; 曲线在[-1,1),(1,3]内y’<0函数单调下降. 函数在x=-1时,它从左到右,一阶导数由大到小(变号)有 极大值 y(-1)= -2; 函数在x=3时它从左到右,一阶导数由小到大(变号)有 极小值y(3)=0

5. (3) 当x<1时,y”<0,曲线上凸,当x>1时,y”>0,曲线下凹,没有拐点. x=1时,函数没有定义,但y”不存在.函数值为无穷大.因此 x=1不是点.

6. 所以x=1是曲线的竖直渐近线 是曲线的斜渐近线 (4) 渐近线为x=1和y=x/4-5/4 (5) 函数没有始点和终点,为此我们作一些辅助点 (2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12)

7. x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3 (3,+ ∞) y’ + 0 -- 不存在 -- 0 + y” -- -- -- 不存在 + + + y -- -2 -- - ∞,+ ∞ + 0 + y x 4y=x-5 x=1 综合上面的讨论,列表如下:

8. 下面我们研究三个问题 (1) 利用导数证明不等式. (2) 证明某些等式. (3) 方程根的进一步讨论. (1)利用导数证明不等式 利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有: 10 利用导数定义证明. 20 利用微分中值定理; 30 利用函数的单调性;

9. 40 利用极值(或最值); 50 利用泰勒公式. 60 利用函数的凹凸性证明 20利用微分中值定理 若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有 f(x) 的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有 f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若不等式两端或一 端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯 西中值定理证.

10. 例2 证明不等式 证明：把lna乘以各式,得到

11. 是函数f(x)=ax在 因为 区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f ’(ξ)(b-a)

14. 例3

16. 例4 当x>0时,证明不等式 30利用函数的单调性 当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端 或两端含f(x),且知道f’(x)>0(或f”(x)>0)则常需要用单调性证. 解：:为证不等式,只要证

17. 其辅助函数为

18. 所以当x>0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)>f”(0) (x>0) 从而 f’(x)严格单调增加,于是当x>0时f’(x)>f’(0)=0

19. 函数f’(x)严格单调减少 例5 设f”(x)<0 ,f(0)=0,证明当0<a≤b时,f(a+b)<f(a)+f(b) 证明: 要证明f(a+b)<f(a)+f(b)就只要证f(a+b) -f(b)<f(a)-f(0)

21. 40利用函数的极值与最值 例6 对任意实数x,证明不等式

23. 50利用泰勒公式 若已知函数f(x)在某区间上有二阶以上的导数,在证不等式 时常用泰勒公式. 例7 设f(x)在[a,b]上二次可微,且对任意x∈(a,b),有 |f”(x)|≤M,又f(a)=f(b),证明

26. 60利用函数的凹凸性证明 函数的凹凸性主要用于证明二元不等式 例8 证明当x>0,y>0时,xlnx+ylny>(x+y)ln(x+y)/2

27. (2)证明某些等式 利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或 一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理.30柯西 定理.关于用2或3的情况是若函数f(x)有一二阶导数,而要证 的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知 道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证. 若等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数 的商时,常用柯西中值定理证.

28. 解: 辅助函数为 关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移 到另一端) 或把等式变形,或变形后再移项或变形后用逆 推的方法. 例9 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0. 证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)+λf(ξ)=0, 这里的λ是任意实数.

29. 例10 设f(x)在[a,b]上连续(0<a<b),在(a,b)内可导,证明在(a,b) 内存在ξη,使得 根据连续函数的性质可知,φ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内也可 导.满足罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点ξ

30. (3).证明方程的根的存在性与个数 方程的根可以看成函数的零点,为了利用函数的连续性质 及导数理论,通常把方程的根的讨论转化为函数的零点讨 论.关于方程根的证明,主要有两种情况 (1)证明方程在某区间内至少有一个或几个根 1.利用介值定理证明方程根的存在性

31. y Y=lnx 1 x 例11 由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+∞)内各有一个根.

32. 2.利用罗尔定理证明方程根的存在性 这个方法是作一个在指定区间上满足罗尔定理条件的辅 助函数, 把根的存在性转化为该辅助函数的导函数的零点 的存在性. 例12 设实数a0 , a1 ,a2,a3,…an,满足关系式 证明 方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0 在(0,1)内 至少有一个根.

34. (2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根(2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根 证明的步骤和方法如下: 1.先证存在性 方法有:㈠利用连续性函数的介值定理;㈡利用罗尔定理. 2.再证唯一性或最多有几个根. 方法有:㈠利用函数的单调增减性;㈡用反证法,通常可利 用罗尔定理,拉格朗日定理导出矛盾.

35. 例13 设f(x)在[0,1]上可导,且0<f(x)<1,又对于(0,1)内所有的 x,f’ (x)≠-1,证明方程f(x)=1-x在(0,1)内有唯一的实根. 证明: 先证存在性. 令φ(x)=f(x)+x-1, 则φ(x)在[0,1]上可导,因为0<f(x)<1, 所以φ(0)=f(0)-1<0,φ(1)=f(1)>0,由介值定理知 φ(x)在[0,1]内至少有一个零点.即方程f(x)=1-x 在(0,1)内至少有一个根.

36. 再证唯一性. 用反证法.设方程f(x)=1-x在(0,1)内有 两个根x1,x2.不妨设0<x1<x2<1.即f(x1)=1-x1,f(x2)=1-x2. 对f(x),在[x1,x2] [0,1]上应用拉格朗日中值定理,有 ξ∈(x1,x2),使 这与假设f’ (x)≠-1矛盾,故唯一性得证.

37. 计算 的近似值 (下面是按 的微分展开) 有些同学是这样做的: 其实 与1相比,并没有近似为0.所以上面的解法和 精确的值相差较大. 应该是这样做: