第五节

第十章 第五节二阶常系数线性微分方程机动目录上页下页返回结束

一、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构: 是二阶线性齐次方程定理1. 的两个解, 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 代入方程左边, 得证毕机动目录上页下页返回结束

是二阶线性齐次方程 定理2. 的两个解, 且不为常数，是该方程的通解. 机动目录上页下页返回结束

二阶常系数齐次线性微分方程: ① 和它的导数只差常数因子, ( r为待定常数 ), 代入①得所以令①的解为 ② 称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根. 1. 当时, ②有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为机动目录上页下页返回结束

时,特征方程有两个相等实根 2. 当则微分方程有一个特解 ( u (x) 待定) 设另一特解代入方程得: 是特征方程的重根因此原方程的通解为取 u = x , 则得机动目录上页下页返回结束

时,特征方程有一对共轭复根 3. 当这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束

特征根 通解小结: 特征方程: 实根以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动目录上页下页返回结束

的通解. 例1. 解: 特征方程特征根: 因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束

二、线性非齐次方程解的结构 定理 3. 是二阶非齐次方程 ① 则 Y (x) 是相应齐次方程的通解, 的一个特解, ② 是非齐次方程的通解 . 证: 将代入方程①左端, 得复习目录上页下页返回结束

是非齐次方程的解, 又Y 中含有证毕两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如,方程有特解有通解对应齐次方程因此该方程的通解为机动目录上页下页返回结束

齐次方程通解 非齐次方程特解二阶常系数线性非齐次微分方程 : ① 根据解的结构定理 , 其通解为求特解的方法 — 待定系数法根据f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 机动目录上页下页返回结束

1、  为实数 , 为 m次多项式 . 为m 次多项式其特解形如 (1) 若  不是特征方程的根, 取 (2) 若 是特征方程的单根, 取 (3) 若  是特征方程的重根 , 取机动目录上页下页返回结束

的一个特解. 例3. 解:本题而特征方程为不是特征方程的根 . 设所求特解为代入方程 : 比较系数, 得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束

的通解. 例4. 解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为代入方程得比较系数, 得因此特解为所求通解为机动目录上页下页返回结束

2、其特解形如其中和为次多项式，而的取值如下：不是特征方程的根，取是特征方程的根，取机动目录上页下页返回结束

的一个特解. 例5. 解: 本题特征方程不是特征方程的根, 故设特解为代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束

的通解. 例6. 解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为代入方程: 比较系数, 得因此特解为所求通解为机动目录上页下页返回结束

分别是方程 定理 4. 的特解, 是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 例7. 的通解. 机动目录上页下页返回结束