空间中的垂直关系

1. X 空间中的垂直关系

2. 一.知识梳理： 判定 性质 判定 性质 线线垂直 线线平行 线面垂直 面面平行 面面垂直

3. 二.典例精析 (1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC 例1：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， 证明:(1)BC⊥平面PAC (2)平面PBC⊥平面PAC P C B A O

4. 总结: (1)利用面面垂直证明线面垂直关键是找垂直于交线的直线. (2)利用线面垂直证明面面垂直关键是找平面的一条垂线.

5. 证明:过点A作AE⊥PB， 垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC P C A ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC B ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB 巩固练习： 如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证:BC⊥平面PAB E

6. 例2. 已知：正方体中，AC是面对角线， BD1是与AC异面的体对角线。 求证：(1)AC⊥BD1, CB1⊥BD1, C1 D1 (2)AC⊥平面D1DB B1 A1 BD1⊥平面ACB1 D C B A

7. 总结: (1)利用线面垂直证明线线垂直关键是找平面及其垂线. (2)利用线线垂直证明线面垂直关键是找平面内的相交直线. (3)利用线面垂直证明面面垂直关键是找平面的一条垂线.

8. P A D O B C 例3已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面， A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。 证明：

9. 三.能力提高 1:如图P为锐角△ABC所在平面外一点, BP ⊥PA, PA ⊥PC,PB ⊥PC, PH ⊥平面ABC于H, 求证:H是△ABC的垂心. P C A H D B

10. 变式:如图,H是锐角△ABC的垂心,PH ⊥平面ABC,若BP ⊥PA,求证:PA ⊥PC,PB ⊥PC P C A H D B

11. A B C E D 2.如右图：A是ΔBCD所在平面外一点， AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD 的中点，求证：平面AEC⊥平面ABD

12. E D F M C B N A 3.如图，△ABC为正三角形，EC ⊥平面ABC， BD ∥CE，CE＝CA＝2 BD， M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA； （2）平面BDM ⊥平面ECA； （3）平面DEA ⊥平面ECA．

13. 知识梳理： 空间中的垂直关系： A 判定 性质 B C D 判定 性质 A垂直于同一个平面的两条直线互相平行 B.两条平行线中有一条垂直于平面,则另一条也垂直于平面. C.垂直于同一条直线的两个平面平行. D.两个平面平行,如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线也垂直于另一个平面. 线线垂直 线线平行 线面垂直 面面平行 面面垂直

14. 四课堂小结 1.线面垂直 关键 在面内找相交线 找垂直于交线的直线 2.面面垂直 3.线线垂直 关键 关键 找平面的一条垂线 找平面及其垂线 面面关系 线面关系 线线关系 面面垂直 线面垂直 线线垂直