作者贾俊平

统计学 统计学(第三版) 2008 作者贾俊平

统计名言 模型选择是艺术，而不是科学。 ——William Navidi

第 11 章主成分分析和因子分析 11.1主成分分析 11.2 因子分析

学习目标 • 主成分分析和因子分析的基本原理 • 主成分分析和因子分析的异同 • 主成分分析和因子分析的数学模型 • 用SPSS进行主成分分析和因子分析 • 用主成分分析和因子分析对实际问题进行综合评价

主成分分析和因子分析(Principal Component Analysis & Factor Analysis) • 在研究实际问题时，往往需要收集多个变量。但这样会使多个变量间存在较强的相关关系，即这些变量间存在较多的信息重复，直接利用它们进行分析，不但模型复杂，还会因为变量间存在多重共线性而引起较大的误差 • 为能够充分利用数据，通常希望用较少的新变量代替原来较多的旧变量，同时要求这些新变量尽可能反映原变量的信息 • 主成分分析和因子分子正式解决这类问题的有效方法。它们能够提取信息，使变量简化降维，从而使问题更加简单直观

因子分析得到的是什么？  因子分析方法在部分领域应用的一些例子 • 心理学：心理学家瑟斯登对56项测验的得分进行因子分析，得出了7中主要智利因子：词语理解能力，语言流畅能力、计数能力、空间能力、记忆力、知觉速度和推理能力 • 教育学：某师范大学在对以幼儿园3～6岁幼儿为对象，通过80名幼儿教师对480名幼儿好奇心行为特征描述的开放式问卷调查，编制出60个项目的初始问卷，对500名幼儿的初测结果进行探索性因子分析后，形成了33个项目的正式问卷，对1000名幼儿的评价结果进行验证性因子分析，结果表明：教师评价的3～6岁幼儿好奇心结构包括敏感、对未知事物的关注、好问、喜欢摆弄、探索持久和好奇体验6个因子

因子分析得到的是什么？ • 医学：一位研究者对山东某县2000～2002年3年的全死因调查资料中不同地区各恶性肿瘤标化死亡率进行因子分析后发现，该县居民恶性肿瘤的发病和死亡具有明显的地区分布。在地区分布中，各种恶性肿瘤的死亡具有一定程度的聚集性。经因子分析得到的4个主因子可以解释10种恶性肿瘤死亡率的74.54％；10种恶性肿瘤中，被解释的比例最小也在62％以上；而胃癌、白血病、膀胱癌、乳腺癌、结肠癌死亡率被解释的比例均在77％以上，表明这10种恶性肿瘤之间存在中等偏强的内在联系和地区分布特点

因子分析得到的是什么？ • 地质学：海南岛的石绿铁矿及外围地区有透辉石透闪岩石和阳起石两种岩石。地质工作者对两种岩石标本的11种化验数据进行了因子分析，分别得到5种和4种主要因子。结果表明，透辉石透闪岩石与阳起石有明显区别，前者的元素组合属碳酸盐沉积型，后者属岩浆分异型。透辉石透闪岩石中铁的沉积与泥质成分有关，属于正常沉积。由此推断石绿铁矿的主要成矿为沉积作用，并据此提出了找矿标志和找矿方向 • 上市公司评价：某研究者选择35家能源类上市公司，根据2007年的12项经营指标数据，采用因子分析法分别按盈利能力、资产管理能力、偿债能力及经营业绩综合评分等方面对35家上市公司进行了排名。其中：盈利能力排在前5位的是：神火股份、海油工程、兰花科创、潞安环能和中国石油；经营业绩综合得分排在前5位的是：神火股份、潞安环能、兰花科创、海油工程和开滦股份

第 11 章主成分分析和因子分析 11.1 主成分分析 11.1.1 主成分分析的基本原理 11.1.2 主成分分析的数学模型 11.1.3 主成分分析的步骤

11.1 主成分分析 11.1.1 主成分分析的基本原理

什么是主成分分析？(principal component analysis) • 主成分的概念由Karl Pearson在1901年提出 • 考察多个变量间相关性一种多元统计方法 • 研究如何通过少数几个主成分(principal component)来解释多个变量间的内部结构。即从原始变量中导出少数几个主分量，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关 • 主成分分析的目的：数据的压缩；数据的解释 • 常被用来寻找判断事物或现象的综合指标，并对综合指标所包含的信息进行适当的解释

主成分分析的基本思想(以两个变量为例) • 对这两个相关变量所携带的信息(在统计上信息往往是指数据的变异)进行浓缩处理 • 假定只有两个变量x1和x2，从散点图可见两个变量存在相关关系，这意味着两个变量提供的信息有重叠 • 如果把两个变量用一个变量来表示，同时这一个新的变量又尽可能包含原来的两个变量的信息，这就是降维的过程

主成分分析的基本思想(以两个变量为例) • 椭圆中有一个长轴和一个短轴，称为主轴。在长轴方向，数据的变化明显较大，而短轴方向变化则较小 • 如果沿着长轴方向设定一个新的坐标系，则新产生的两个变量和原始变量间存在一定的数学换算关系，同时这两个新变量之间彼此不相关，而且长轴变量携带了大部分的数据变化信息，而短轴变量只携带了一小部分变化的信息(变异) • 此时，只需要用长轴方向的变量就可以代表原来两个变量的信息。这样也就把原来的两个变量降维成了一个变量。长短轴相差越大，降维也就越合理

主成分分析的基本思想(以两个变量为例) • 多维变量的情形类似，只不过是一个高维椭球，无法直观地观察 • 每个变量都有一个坐标轴，所以有几个变量就有几主轴。首先把椭球的各个主轴都找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量，这样，降维过程也就完成了 • 找出的这些新变量是原来变量的线性组合，叫做主成分

11.1 主成分分析 11.1.2 主成分分析的数学模型

主成分分析的数学模型 • 数学上的处理是将原始的p个变量作线性组合，作为新的变量 • 设p个原始变量为，新的变量(即主成分)为，主成分和原始变量之间的关系表示为 aij为第i个主成分yi和原来的第j个变量xj之间的线性相关系数，称为载荷(loading)。比如，a11表示第1主成分和原来的第1个变量之间的相关系数，a21表示第2主成分和原来的第1个变量之间的相关系数主成分分析的数学模型

主成分的选择 • 选择几个主成分？选择标准是什么？ • 被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴总程度之和的大部分 • 在统计上，主成分所代表的原始变量的信息用其方差来表示。因此，所选择的第一个主成分是所有主成分中的方差最大者，即Var(yi)最大 • 如果第一个主成分不足以代表原来的个变量，在考虑选择第二个主成分，依次类推 • 这些主成分互不相关，且方差递减

主成分的选择 • 究竟选择几个主成分才合适呢？ • 一般要求所选主成分的方差总和占全部方差的80%以上就可以了。当然，这只是一个大体标准，具体选择几个要看实际情况 • 如果原来的变量之间的相关程度高，降维的效果就会好一些，所选的主成分就会少一些，如果原来的变量之间本身就不怎么相关，降维的效果自然就不好 • 不相关的变量就只能自己代表自己了

11.1 主成分分析 11.1.3 主成分分析的步骤

主成分分析的步骤 • 对原来的p个指标进行标准化，以消除变量在水平和量纲上的影响 • 根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵 • 求出协方差矩阵的特征根和特征向量 • 确定主成分，并对各主成分所包含的信息给予适当的解释

主成分分析 (实例分析) 【例】根据我国31个省市自治区2006年的6项主要经济指标数据，进行主成分分析，找出主成分并进行适当的解释

用SPSS进行主成分分析 • 第1步选择【Analyze】下拉菜单，并选择【Data Reduction- • Factor】，进入主对话框 • 第2步在主对话框中将所有原始变量选入【Variables】 • 第3步点击【Descriptives】，在【correlation Matrix】下选择 • 【Coefficirnts】，点击【Continue】回到主对话框 • 第4步点击【Extraction】，在【Display】下选择【Scree • Plot】，点击【Continue】回到主对话框 • 第5步点击【Rotation】，在【Display】下选择【Loading • Plot】，点击【Continue】回到主对话框 • 点击【OK】

SPSS的输出结果 各变量之间的相关系数矩阵变量之间的存在较强的相关关系，适合作主成分分析

SPSS的输出结果(选择主成分) 各主成分所解释的原始变量的方差该表是选则主成分的主要依据

根据什么选择主成分？ • “Initial Eigenvalues”(初始特征根) • 实际上就是本例中的6个主轴的长度 • 特征根反映了主成分对原始变量的影响程度，表示引入该主成分后可以解释原始变量的信息 • 特征根又叫方差，某个特征根占总特征根的比例称为主成分方差贡献率 • 设特征根为，则第i个主成分的方差贡献率为 • 比如，第一个主成分的特征根为3.963，占总特征根的的比例(方差贡献率)为66.052%，这表示第一个主成分解释了原始6个变量66.052%的信息，可见第一个主成分对原来的6个变量解释的已经很充分了

根据什么选择主成分？ • 根据主成分贡献率 • 一般来说，主成分的累计方差贡献率达到80%以上的前几个主成分，都可以选作最后的主成分 • 比如表13.3中前两个主成分的累计方差贡献率为95.57% • 根据特特征根的大小 • 一般情况下，当特征根小于1时，就不再选作主成分了，因为该主成分的解释力度还不如直接用原始变量解的释力度大 • 比如表13.3中除前两个外，其他主成分的特征根都小于1。所以SPSS只选择了两个主成分 • 就本例而言，两个主成分就足以说明各地区的经济发展状况了

根据什么选择主成分？(Scree Plot) • SPSS还提供了一个更为直观的图形工具来帮助选择主成分，即碎石图(Scree Plot) • 从碎石图可以看到6个主轴长度变化的趋势 • 实践中，通常结合具体情况，选择碎石图中变化趋势出现拐点的前几个主成分作为原先变量的代表，该例中选择前两个主成分即可拐点

怎样解释主成分？ 主成分的因子载荷矩阵 • 表1中的每一列表示一个主成分作为原来变量线性组合的系数，也就是主成分分析模型中的系数aij • 比如，第一主成分所在列的系数0.670表示第1个主成分和原来的第一个变量(人均GDP)之间的线性相关系数。这个系数越大，说明主成分对该变量的代表性就越大

怎样解释主成分？(主成分与原始变量的关系) • 根据主成分分析模型和因子载荷，可以得到两个主成分与原来6个变量之间的线性组合表达式如下注意：表达式中的不是原始变量，而是标准化变量

怎样解释主成分？(Loading Plot) • 载荷图(Loading Plot)直观显示主成分对原始6变量的解释情况 • 图中横轴表示第一个主成分与原始变量间的相关系数；纵轴表示第二个主成分与原始变量之间的相关系数 • 每一个变量对应的主成分载荷就对应坐标系中的一个点，比如，人均GDP变量对应的点是(0.670，0.725) • 第一个主成分很充分地解释了原始的6个变量(与每个原始变量都有较强的正相关关系)，第二个主成分则较好地解释了居民消费水平、人均GDP和年末总人口这3个变量(与它们的相关关系较高)，而与其他变量的关系则较弱(相关系数的点靠近坐标轴) 相关系数的点越远离坐标轴，主成分对原始变量的代表性就越大。这3个点远离主成分2的坐标

第 11 章主成分分析和因子分析 11.2 因子分析 11.2.1 因子分析的意义和数学模型 11.2.2 因子分析的步骤 11.2.3 因子分析的应用

11.2 因子分析 11.2.1 因子分析的意义和数学模型

什么是因子分析？(factor analysis) • 由Charles Spearman于1904年首次提出的 • 与主成分分析类似，它们都是要找出少数几个新的变量来代替原始变量 • 不同之处：主成分分析中的主成分个数与原始变量个数是一样的，即有几个变量就有几个主成分，只不过最后我们确定了少数几个主成分而已。而因子分析则需要事先确定要找几个成分，也称为因子(factor)，然后将原始变量综合为少数的几个因子，以再现原始变量与因子之间的关系，一般来说，因子的个数会远远少于原始变量的个数

什么是因子分析？(factor analysis) • 因子分析可以看作是主成分分析的推广和扩展，但它对问题的研究更深入、更细致一些。实际上，主成分分析可以看作是因子分析的一个特例 • 简言之，因子分析是通过对变量之间关系的研究，找出能综合原始变量的少数几个因子，使得少数因子能够反映原始变量的绝大部分信息，然后根据相关性的大小将原始变量分组，使得组内的变量之间相关性较高，而不同组的变量之间相关性较低。因此，因子分析属于多元统计中处理降维的一种统计方法，其目的就是要减少变量的个数，用少数因子代表多个原始变量

因子分析的数学模型 • 因变量和因子个数的不一致，使得不仅在数学模型上，而且在实际求解过程中，因子分析和主成分分析都有着一定的区别，计算上因子分析更为复杂 • 因子分析可能存在的一个优点是：在对主成分和原始变量之间的关系进行描述时，如果主成分的直观意义比较模糊不易解释，主成分分析没有更好的改进方法；因子分析则额外提供了“因子旋转(factor rotation)”这样一个步骤，可以使分析结果尽可能达到易于解释且更为合理的目的

因子分析的数学模型 • 原始的p个变量表达为k个因子的线性组合变量 • 设p个原始变量为，要寻找的k个因子(k<p)为，主成分和原始变量之间的关系表示为系数aij为第个i变量与第k个因子之间的线性相关系数，反映变量与因子之间的相关程度，也称为载荷(loading)。由于因子出现在每个原始变量与因子的线性组合中，因此也称为公因子。为特殊因子，代表公因子以外的因素影响因子分析的数学模型

因子分析的数学模型(共同度量Communality和公因子的方差贡献率 ) • 共同度量(Communality) • 因子的方差贡献率变量xi的信息能够被k个公因子解释的程度，用 k个公因子对第i个变量xi的方差贡献率表示第j个公因子对变量xi的提供的方差总和，反映第j个公因子的相对重要程度

11.2 因子分析 11.2.2 因子分析的步骤

因子分析的步骤(数据检验) • 因子分析要求样本的个数要足够多 • 一般要求样本的个数至少是变量的5倍以上。同时，样本总数据量理论要求应该在100以上 • 用于因子分析的变量必须是相关的 • 如果原始变量都是独立的，意味着每个变量的作用都是不可替代的，则无法降维 • 检验方法 • 计算各变量之间的相关矩阵，观察各相关系数。若相关矩阵中的大部分相关系数小于0.3，则不适合作因子分析 • 使用Kaiser-Meyer-Olkin检验(简称KMO检验)和 Bartlett球度检验(Bartlett’s test of sphericity)来判断(SPSS将两种检验统称为“KMO and Bartlett’s test of sphericity”)

因子分析的步骤(数据检验) • Bartlett球度检验 • 以变量的相关系数矩阵为基础，假设相关系数矩阵是单位阵(对角线元素不为0，非对角线元素均为0)。如果相关矩阵是单位阵，则各变量是独立的，无法进行因子分析 • KMO检验 • 用于检验变量间的偏相关性，KMO统计量的取值在0～1之间 • 如果统计量取值越接近1，变量间的偏相关性越强，因子分析的效果就越好 • KMO统计量在0.7以上时，因子分析效果较好；KMO统计量在0.5以下时，因子分析效果很差

因子分析的步骤(因子提取) • Principal components(主成分法)：多数情况下可以使用该方法(这也是SPSS的默认选项)。通过主成分分析的思想提取公因子，它假设变量是因子的线性组合 • Unweight Least Square(不加权最小平方法)：该方法使实际的相关矩阵和再生的相关矩阵之差的平方和达到最小 • Generalized Least Square(加权最小平方法)：用变量值进行加权，该方法也是使实际的相关矩阵和再生的相关矩阵之差的平方和达到最小 • Maximum Likelihood(最大似然法)：该方法不要求数据服从正态分布，在样本量较大时使用较好 • Principal Axis Factoring(主轴因子法)：该方法从原始变量的相关性出发，使得变量间的相关程度尽可能地被公因子解释

因子分析的步骤(因子提取) • 因子数量的确定 • 用公因子方差贡献率提取：与主成分分析类似，一般累计方差贡献率达到80%以上的前几个因子可以作为最后的公因子 • 用特征根提取：一般要求因子对应的特征根要大于1，因为特征根小于1说明该共因子的解释力度太弱，还不如使用原始变量的解释力度大 • 实际应用中，因子的提取要结合具体问题而定，在某种程度上，取决于研究者自身的知识和经验

因子分析的步骤(因子命名) • 因子命名是因子分析重要一步 • 一个因子包含了多个原始变量的信息，它究竟反映了原始变量的哪些共同信息？ • 因子分析得到的因子的含义是模糊的，需要重新命名，以便对研究的问题作出合理解释 • 可通过考察观察因子载荷矩阵并结合实际问题完成 • 命名已经不是统计问题。它需要研究者自身的专业素质和对实际问题背景的了解程度，这需要更多的实践经验

因子分析的步骤(因子命名) • 观察因子载荷矩阵 • 如果因子载荷aij的绝对值在第i行的多个列上都有较大的取值(通常大于0.5)，表明原始变量与多个因子都有较大的相关关系，意味着原始变量xi需要由多个因子来共同解释 • 如果因子载荷aij的绝对值在第j列的多个行上都有较大的取值，则表因子fi能共同解释许多变量的信息，而对每个原始变量只能解释其中的少部分信息，表明因子不能有效代表任何一个原始变量，因子的含义模糊不清，难以对因子给出一个合理的解释 • 需要进行因子旋转，以便得到更加合理的解释

因子分析的步骤(因子命名—旋转) • 因子旋转(factor rotation)的目的是使因子的含义更加清楚，以便于对因子的命名和解释 • 旋转的方法有正交旋转和斜交旋转两种 • 正交旋转是指坐标轴始终保持垂直90度旋转，这样新生成的因子仍可保持不相关 • 斜交旋转坐标轴的夹角可以是任意的，因此新生成的因子不能保证不相关。因此实际应用中更多地使用正交旋转 • SPSS提供5种旋转方法，其中最常用的是Varimax(方差最大正交旋转)法

因子分析的步骤(因子命名—旋转) • Varimax(方差最大正交旋转)：最常用的旋转方法。使各因子保持正交状态，但尽量使各因子的方法达到最大，即相对的载荷平方和达到最大，从而方便对因子的解释 • Quartimax(四次方最大正交旋转)：该方法倾向于减少和每个变量有关的因子数，从而简化对原变量的解释 • Equamax(平方最大正交旋转)：该方法介于方差最大正交旋转和四次方最大正交旋转之间 • Direct Oblimin(斜交旋转)：该方法需要事先指定一个因子映像的自相关范围 • Promax：该方法在方差最大正交旋转的基础上进行斜交旋转

因子分析的步骤(计算因子得分) • 因子得分(factor score)是每个因子在每个样本上的具体取值，它由下列因子得分函数给出因子得分是各变量的线性组合因子得分函数

11.2 因子分析 11.2.3 因子分析的应用

因子分析 (实例分析) 【例】根据我国31个省市自治区2006年的6项主要经济指标数据，进行因子分析，对因子进行命名和解释，并计算因子得分和排序

用SPSS进行因子分析 • 第1步选择【Analyze】【Data Reduction-Factor】主对话框。将所 • 有原始变量选入【Variables】 • 第2步点击【Descriptives】【correlation Matrix】【KMO and • Bartlett’s test of sphericity】(其他选项根据需要)  【Continue】 • 第3步点击【Extraction】，在【Method】框中选择因子的提取方法(本例 • 使用隐含的Principal components)；在【Extract】中输入选择因子 • 的最小特征根(隐含的是特征根大于1)；在【Display】下选择 • 【Scree Plot】 【Continue】 • 第4步点击【Rotation】，在【Method】框中选择因子旋转方法(隐含的不 • 旋转，本例选择【Varimax】)；在【Display】下选择【Loading • Plot】  【Continue】 • 第5步点击【Scores】，并选中【Display factor Score coefficient • matrix】(SPSS隐含的估计因子得分系数的方法是Regression)  • 【Continue】 【OK】

作者 贾俊平