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第 5 章 有限长离散变换

第 5 章 有限长离散变换. 绪论. 有限长变换：将一段有限长的时域序列影射为等长的频域序列 变换域序列可以由时域序列的线性加权表示，反之，时域序列也可以由变换域序列的线性加权表示 正交变换： 离散傅立叶变换 离散余弦变换 Harr 变换. 正交变换. x[n] 表示长度为 N 的时域序列， Χ [k] 表示其 N 点正交变换的系数，则：. 分析式与综合式 基本序列： ψ [k,n] 在时域和变换域中，序列的长度均为 N. 正交序列. 若满足下式则 ψ [k,n] 为正交序列. 本章所涉及的序列均 为正交序列 逆变换的正确性证明

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第 5 章 有限长离散变换

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  1. 第5章 有限长离散变换

  2. 绪论 • 有限长变换：将一段有限长的时域序列影射为等长的频域序列 • 变换域序列可以由时域序列的线性加权表示，反之，时域序列也可以由变换域序列的线性加权表示 • 正交变换： 离散傅立叶变换 离散余弦变换 Harr变换

  3. 正交变换 • x[n]表示长度为N的时域序列，Χ[k]表示其N点正交变换的系数，则： • 分析式与综合式 • 基本序列：ψ[k,n] • 在时域和变换域中，序列的长度均为N

  4. 正交序列 • 若满足下式则ψ[k,n]为正交序列 • 本章所涉及的序列均为正交序列 • 逆变换的正确性证明 • 基本序列的正交性保证了变换的能量保持特性，即在时域和变换域中计算出的能量相等，即帕斯瓦尔关系(P188)

  5. 能量压缩性质 • 信号的绝大部分能量集中在某一部分变换系数中，其他的变换系数的能量很少，可人为将之置为0 • 许多信号压缩处理的基本方法

  6. 离散傅立叶变换 • 定义 • DFT矩阵关系 • IDFT矩阵关系 • 用matlab计算DFT

  7. 定义 • 时域中N点序列x[n]的DFT定义为： • 变换的基本序列为： • 证明：基本序列是正交的

  8. N点的DFT变换对 • 记变换核为： • 正变换为： • 逆变换为：

  9. DFT的具体计算 • P189 例5.1 • P190 例5.2 • FFT • DFT和IDFT需要的计算量： N2乘法 + N(N-1) • 研究减少计算量： N lgN • DFT和IDFT以FFT的形式得到广泛应用

  10. DFT以矩阵形式表示： 矩阵关系 • 其中，X是N个DFT样本组成的量： • x是N个输入样本的向量：

  11. DN 为DFT矩阵：

  12. IDFT矩阵关系

  13. 用matlab计算DFT • fft(x) • fft(x, M) • ifft(X) • ifft(X, M) • dftmtx(N) • 例5.3 • 例5.4

  14. FT与DFT之间的关系 • 与DTFT的关系 • 在ω轴上(0<=ω<=2π)，对X(ejω)以N个相等的频率间隔ωk=2πk/N， 0<=k<=N-1 • 提出计算DTFT的数值方法 • P194例5.5

  15. FT与DFT的逆变换之间的关系 • 研究如何从X[k]得到X(ejω) • 推导方法： • 将x[n]以DFT逆变换形式表示带入DTFT的正变换

  16. 傅立叶变换的抽样 • 对于X(ejω)以N个相等的间隔点ωk=2πk/N抽样，从而得到N个频率样本X(ejωk) • 设对于DFT，Y[k]= X(ejωk) • 则可证明y[n]与x[n]的关系

  17. 有限长序列的运算 • 序列的圆周移位 • 序列的圆周卷积

  18. 序列的圆周移位 • 两种圆周位移运算： • 圆周时移运算 • 圆周频移运算 • 以圆周时移运算为例讨论： • 一般时移规则下，序列的时移就不再在原[0，N-1]内了 • 为保证原区间，以模运算来定义时移运算 • matlab中函数（文件）：mod • P197 图5.4

  19. 圆周时间反转运算 • 向右圆周移位n0个抽样周期等效于向左圆周移位N-n0个抽样周期 • 若将长度为N的序列已等间隔显示在一个圆上，则圆周移位运算可以被看成该序列在圆周上顺时针或逆时针旋转 • P198 图5.5 • matlab文件：circshift1

  20. 序列的圆周卷积 • 普通线性卷积运算的长度 • 当参与卷积的序列长度均为N时，线性卷积y[n]的长度为2N-1 • y[0]=g[0]h[0]，y[2n-2]=g[N-1]h[N-1]

  21. N 圆周卷积的定义 • 定义：利用圆周时间反转运算的卷积 • 性质：满足交换律

  22. N点圆周卷积的矩阵形式 • P199 例5.7

  23. 圆周卷积的图形解释

  24. 圆周卷积的图形解释 • 利用matlab计算圆周卷积 • circonv • P200 例5.8

  25. 有限长序列的分类 • 基于共轭对称的分类 • 几何对称分类

  26. 基于共轭对称的分类 • 对称：利用模运算定义 • 长度为N的序列x[n]表示为： x[n] = xcs[n]+xca[n] 0<=n<=N-1 圆周共轭对称部分 + 圆周共轭反对称部分 • xcs[n] = (x[n]+x*[<-n>N])/2 • xca[n] = (x[n]-x*[<-n>N])/2 • 在实序列中有：xev[n]+xod[n] 圆周偶部分+圆周奇部分

  27. 基于共轭对称的分类 • 圆周共轭对称序列 x[n] = x*[<-n>N] = x*[N-n] • 圆周共轭反对称序列 x[n] = -x*[<-n>N] = -x*[<N-n>N] • 圆周偶序列 x[n] = x[<-n>N] = x[<N-n>N] • 圆周奇序列 x[n] = -x[<-n>N] = -x[<N-n>N] • P202 例5.10

  28. 频域情况 • DFT序列在频域上也是有限长序列 • 时域与频域内情况相同

  29. 几何对称分类 • 几何对称 x[n] = x[N-1-n] • 几何反对称 x[n] = -x[N-1-n] • 由于N可以是偶数也可以是奇数，因此存在4种类型的几何对称定义

  30. 几何对称4种类型

  31. 1型：奇长度对称序列 • 以N=9为例 • 其傅立叶变换（FT）形式为： • DFT：通过对FT均匀采样得到

  32. 2型：偶长度对称序列 • 以N=8为例 • 其傅立叶变换（FT）形式为： • DFT：通过对FT均匀采样得到

  33. 反对称序列的变化 P205 • 利用N=9，得到奇长度反对称序列（3型）的FT和DFT • 利用N=8，得到偶长度反对称序列（4型）的FT和DFT • 另一分类方法：基于序列对称点的位置 • 全样本对称 • 半样本对称

  34. DFT对称关系 • 通常DFT序列为复序列： • 推导P206：X[k]的实部虚部和x[n]的共轭对称反对称部分的关系

  35. 有限长复序列 • 推导P206：圆周时间反转序列的DFT • 两个实序列的DFT可以通过计算一个复序列的DFT来计算

  36. DFT对称性质总结

  37. 有限长实序列 • P208由式5.92推导实序列DFT的对称关系

  38. 实序列DFT对称性质

  39. 离散傅立叶变换定理 • 某些序列是通过已知其DFT的序列组合而成的 • 通过变换定理就可以确定这些序列的DFT

  40. DFT定理

  41. DFT举例 • P210 例5.11 用DFT计算圆周卷积 • P211 例5.12 用圆周卷积实现两个有限长序列的线性卷积

  42. 傅立叶滤波 • 滤波目的：去除有限长离散时间信号的一个或多个频段上的分量 • 设计思路：设计满足要求的系统冲击响应h(n) • 简单方法：将x[n]需要抑制的频段上的傅立叶变换H(ejω)设为0，将需要保留的频段上的H(ejω)设为1 • 此方法下，输入序列和输出序列的相位相同 • 例5.13 ch5p13.m

  43. 傅立叶滤波的图像处理应用

  44. 傅立叶滤波的图像处理应用

  45. 实序列的DFT计算 • 目标：如何提高对实序列的DFT计算效率？ • 利用DFT定理，将已知DFT组合起来 • 利用DFT的对称性质，提高计算效率 • 途径： • 用N点DFT计算两个实序列的N点DFT • 用单个N点DFT计算实序列的2N点DFT

  46. 用N点DFT计算两个实序列的N点DFT • 为计算实序列g[n]和h[n]的DFT，则定义： x[n] = g[n]+jh[n] • 则由DFT对称性质可知： G[k]={X[k]+X*[<-k>N]} / 2 H[k]={X[k]-X*[<-k>N]} / (2j) • 例5.14

  47. 用单个N点DFT计算实序列的2N点DFT • 若v[n]是长度为2N的实序列，V[k]表示该实序列的2N点的DFT，则定义： g[n]=v[2n] h[n]=v[2n+1] nє[0,n-1] • 则可以推出： • 例5.15

  48. 用DFT实现线性卷积 • 两个有限长序列的线性卷积 • 有限长序列和无限长序列的线性卷积

  49. 两个有限长序列的线性卷积 • 例5.16

  50. 有限长序列和无限长序列的线性卷积 • 令h[n]是一个长度为M的有限场序列，x[n]是一个无限长序列（或长度远大于M的有限长序列）求线性卷积： • 重叠相加法 • 重叠保留法

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