第二章条件概率与独立性

第二章条件概率与独立性 第一节条件概率与事件独立性一．条件概率例假设有一批灯泡共个，其中有个是合格品，有个是甲厂生产的，在甲厂生产的个灯泡中有个是合格品。从个灯泡中随机地取一个，设 =“取得合格品”， =“取得甲厂生产”

定义：设 为二个事件，记在事件发生的情况下，事件发生的条件概率为，且

例1 考察掷两颗骰子的试验。已知两颗 骰子出现点数之和为7，求其中有一个是3点的概率。

乘法定理：设 则

P19 例2-3 一批零件共100件，其中有10件是次品，每次从中任取一件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。

例2 在空战中，甲机先向乙机开火，击落 乙机的概率为0.2 ；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3 ；若甲机也未被击落，则再进行攻击，击落乙机的概率为0.4 。求在这几个回合中，甲机被击落的概率和乙机被击落的概率。

二．事件独立性 1．两个事件的独立性 P20 例2-4 袋中有a只黑球和b只白球，采取有放回摸球，陆续取出两球，求（1）在已知第一次摸出黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率；（2）第二次摸出黑球的概率。

定义：

例3 掷一枚硬币和一颗骰子。定义 =“硬币出现正面”， =“骰子出现奇数点” 讨论事件的独立性。

例4 一个家庭中有若干个小孩，假定生 男生女是等可能的，令 =“一个家庭中有男孩又有女孩” =“一个家庭最多有一个女孩” （1）家庭中有两个小孩，（2）家庭中有三个小孩。的独立性。对上述2种情况，讨论事件

和讨论性质：若独立，则

2．多个事件的独立性 先讨论三个事件独立要满足什么条件。定义：设有若其中则称相互独立，否则称为不独立。

相互独立，则 性质：设例5 设随机试验中，某一事件出现的概率为，证明：不论多么小，只要不断地，独立地重复做此试验，则事件迟早会发生的概率为1。 P23 例2-9

第二节全概率公式和贝叶斯公式 例1 有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个。其中第一个盒子中7个球标有字母 A ,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球 2个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球。如果第二次取出的是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率。

定义：设 满足则称为的一个分割。全概率公式：设为的一个分割，为任一事件，则

例2 某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和35%，又这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。现在从出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品的概率。若该厂规定，出了次品要追究有关流水线的经济责任。现在出厂产品中任取一件，结果为次品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问四条流水线各应承担多大责任？

贝叶斯公式：设 为的一个分割，为任一事件，且则

例3 在电报通讯中，发送端发出的是由“。” 和“—”两种信号组成的序列，而由于随机干扰的存在，接收端收到的是由“。”，“不清”和“—”三种信号组成的序列。信号“。”，“不清”和“—”分别简记为0，x，1。假设已知发送0和1的概率分别为0.6和0.4；在发出 0的条件下，收到0，x和1的条件概率分别为0.7，0.2和0.1；在发出1的条件下，收到 0，x和1的条件概率分别为0，0.1和0.9。试分别计算在接收信号为x（不清）的条件下，原发出信号为0和1的条件概率。

第三节贝努利概型 定义：有一随机试验，观察事件A发生与否，将此试验独立地重复进行n次，则称此模型为n重贝努利概型。求在n次独立试验中事件A发生k次的概率。

例1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立。现因当地电力供应紧张，供电部门经研究只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率。

P28 例2-14 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛。如果每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？解：我们必须假定各局比赛结果相互独立（1）采用三局二胜制

P33 习题9 设

P33 例10 设

P33 习题7

P33 习题11

辅导用书P46 习题3

第三章随机变量及其分布 第一节随机变量和分布函数在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。例如，在产品检验问题中出现的废品数；在车间供电问题中某一时刻正在工作的车床数；测量的误差；灯泡的寿命等都与数值有关。因此，在随机试验中，我们的观测对象常常是一个或若干随机取值的变量。

有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能用数值来描述。 例如，在掷一枚硬币问题中，每次出现的结果为正面（记为H）或反面（记为T），与数值没有关系，但是我们可以用下面方法使它与数值联系起来，当出现正面时对应数“1”，而出现反面时对应数“0”，

即相当于引入一个定义在样本空间 上的变量，其中由于试验结果的出现是随机的，因而的取值也是随机的。

通过以上的分析，我们可以看到：一类试验的结果，自然地对应着一个实数；而另一类试验的结果需要人为地建立试验结果与数值的关系。 由此可见，无论是那一种情况，都是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系。

1．一般概率的定义，古典概型 2．条件概率的定义，贝努利概型 3．（一维）随机变量的定义 , 分布函数的定义及其基本性质 4．随机变量X与Y独立性定义，可加性定义

5．数学期望定义及其描述什么， 方差的定义及其描述什么，相关系数定义及其描述什么 6．切比雪夫大数定律及其描述什么，贝努利大数定律及其描述什么，中心极限定理

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