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特徵值與特徵向量

特徵值與特徵向量. 阿兜鈴老師. 矩陣的特徵值. 如果有一非零向量 x 使得 Ax = cx, 我們就說 c : A 的特徵值 x : A 的特徵向量. 一定會有特徵值與特徵向量嗎？. 不一定 , 要看我們怎麼定義 c 和 x Ex: 如果 A 是平面上的旋轉矩陣 , 且規定 x 是平面上的向量 , 則我們找不到 x 使得 Ax=cx 為了討論方便起見 , 我們先規定 c 與 x 都可以是複數 , A 的元素都是實數. 怎麼找特徵值 c. A 是 n x n 矩陣

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特徵值與特徵向量

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Presentation Transcript

  1. 特徵值與特徵向量 阿兜鈴老師

  2. 矩陣的特徵值 • 如果有一非零向量x使得Ax = cx, 我們就說 • c : A的特徵值 • x : A的特徵向量

  3. 一定會有特徵值與特徵向量嗎？ • 不一定, 要看我們怎麼定義c和x • Ex: 如果A是平面上的旋轉矩陣, 且規定x是平面上的向量, 則我們找不到x使得Ax=cx • 為了討論方便起見, 我們先規定c與x都可以是複數, A的元素都是實數.

  4. 怎麼找特徵值c • A是n x n矩陣 • Det(A-cIn) = 0, 是一個c的n次多項式, 解出這個n次多項式的根就是矩陣A的特徵值. • 超過二次的多項式需要利用牛頓定理或其他方法求根. • 當矩陣是對稱的, 特徵值會全部都是實數

  5. 怎麼找特徵向量x • 在A-cIn的null space中的任何一個向量都可以當特徵向量x • 一個特徵值c至少會有一個特徵向量x • 如果特徵值c是k重根, 如果找不到k個線性獨立的特徵向量  這時候就不能對角化  Jordan Form

  6. 不同的特徵值的特徵向量 • 一定會線性獨立 • 如果矩陣是對稱的, 那麼特徵向量還會正交

  7. 特徵值與特徵多項式 • 從上面的式子可以得到 • det(A) = c1c2…cn • tr(A) = c1+c2+…+cn

  8. 特徵值總和＝矩陣trace

  9. 矩陣的對角化

  10. 特徵值的應用 • 矩陣的高次方 • 遞迴數列 • 正定的判斷 • 其他尚有很多

  11. 矩陣的高次方

  12. 遞迴數列的一般式

  13. 二次式正定的判斷1

  14. 二次式正定的判斷2

  15. Octave的應用 • [S V] = eig(A); • S: 特徵向量的矩陣. • V: 特徵值的矩陣. • SVS-1=A • x = roots(v) • 求出v1xn+v2xn-1+…+vn=0的根

  16. Y=Ax • 在二維平面上會看到什麼樣的圖形？

  17. 特徵向量的幾何意義 • 不變的空間？

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