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3.3 垂径定理（ 1 ）

3.3 垂径定理（ 1 ）. 创设情境 , 引入新课. 复习提问 :. （１）什么是轴对称图形　. 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。. （２）正三角形是轴对称性图形吗？. 是. 有几条对称轴？. ３. （３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？. C. D. O. 合作交流 , 探究新知. 一自主探究. 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径 CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠 , 你发现了什么 ?. 圆是轴对称图形，每一条 直径所在的直线 都是对称轴。.

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3.3 垂径定理（ 1 ）

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Presentation Transcript

  1. 3.3 垂径定理（1）

  2. 创设情境,引入新课 复习提问: （１）什么是轴对称图形　 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能 完全重合，这个图形就是轴对称图形。 （２）正三角形是轴对称性图形吗？ 是 有几条对称轴？ ３ （３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

  3. C D O 合作交流,探究新知 一自主探究 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么? 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 结论： 强调： （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条. X 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）

  4. A C D O E B 解：点A与点B重合，ＡＥ与ＢＥ重合， AC＝BC，AD＝BD．AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 二　合作学习 １.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？ ２.请你用命题的形式表述你的结论. 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．

  5. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ EA=EB， AC= BC， AD=BD． ∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD． C D O E B ３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明． 已知：如图，ＣＤ是⊙O的直径，ＡＢ是⊙O的一 条弦，ＣＤ⊥AB，且交ＡＢ于点Ｅ． 求证： 证明：连结ＯＡ，ＯＢ. 如果把⊙O沿着直径ＣＤ对折， 那么被ＣＤ分成的两个半圆互 相重合. ∵∠OEA=∠OEB=Rt∠， ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合， 弧AD和弧BD重合． ∴线段EA与线段EB重合. 思考：你能利用等腰 三角形的性质，说明 OC平分AB吗？

  6. ４.圆的性质（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．

  7. ∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD． A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C D O 例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点. B E 三　概括性质（垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．） 直径平分弦 １.直径垂直于弦 直径平分弦所对的弧 （条件） （结论） 垂径定理的几何语言叙述: ∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB） 2.分一条弧成相等的两条弧的点, 叫做这条弧的中点.

  8. 垂径定理的几个基本图形

  9. ⌒ 例1已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点的概念） ⌒ 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分. ⌒ 作法： C ⒈ 连结AB. E ⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. B A D 点E就是所求弧AB的中点．

  10. E C D B 做一做： 　１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点． BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.

  11. 例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得: 10 C 8 8 D 答:截面圆心O到水面的距离为6. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.

  12. ． O 2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： r d A B C 题后小结： 1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；

  13. 想一想： 在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的 弦心距之间有什么关系？ C . 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短; 弦心距越短,所对应的弦就越长. D A B O

  14. ⌒ 过Ｏ作ＯＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，延长ＯＥ交ＣＤ于点Ｆ， 做一做 ２.在直径为２０厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如 图所示，如果油面宽是１６厘米，求油槽中油的最大深度． 解： 连结ＯＤ． 因为ＯＥ⊥ＣＤ， O Ｅ D C Ｆ 所以油槽中油的最大深度ＥＦ＝１０－６＝４（厘米）

  15. 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径. 做一做 1 3 3

  16. 适度拓展 １、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ） D (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm 10 8 6

  17. ． O B A M 适度拓展 2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<5

  18. （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 课 堂 小 结 师生共同总结： １．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法： （1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；

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