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Presentation Transcript

  1. 3.3 垂径定理(1)

  2. 创设情境,引入新课 复习提问: (1)什么是轴对称图形  如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能 完全重合,这个图形就是轴对称图形。 (2)正三角形是轴对称性图形吗? 是 有几条对称轴? 3 (3)圆是否为轴对称图形?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

  3. C D O 合作交流,探究新知 一自主探究 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么? 圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴。 结论: 强调: (1)圆的对称轴是直线,不能说每一条直径都是圆的对称轴. (2)圆的对称轴有无数条. X 判断:任意一条直径都是圆的对称轴( )

  4. A C D O E B 解:点A与点B重合,AE与BE重合, AC=BC,AD=BD.AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 二 合作学习 1.在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合?如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等? 2.请你用命题的形式表述你的结论. 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧.

  5. 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ EA=EB, AC= BC, AD=BD. ∴ EA=EB, AC= BC, AD=BD. C D O E B 3.请你对上述命题写出已知,求证,并给出证明. 已知:如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的一 条弦,CD⊥AB,且交AB于点E. 求证: 证明:连结OA,OB. 如果把⊙O沿着直径CD对折, 那么被CD分成的两个半圆互 相重合. ∵∠OEA=∠OEB=Rt∠, ∴点A与点B重合,弧AC和弧BC重合, 弧AD和弧BD重合. ∴线段EA与线段EB重合. 思考:你能利用等腰 三角形的性质,说明 OC平分AB吗?

  6. 4.圆的性质(垂径定理) 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧.

  7. ∴ EA=EB, AC=BC, AD=BD. A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C D O 例如,点C是AB的中点,点D是ADB的中点. B E 三 概括性质(垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.) 直径平分弦 1.直径垂直于弦 直径平分弦所对的弧 (条件) (结论) 垂径定理的几何语言叙述: ∵CD为直径,CD⊥AB(或OC⊥AB) 2.分一条弧成相等的两条弧的点, 叫做这条弧的中点.

  8. 垂径定理的几个基本图形

  9. 例1已知弧AB,如图,用直尺和圆规求作这条弧的中点.(先介绍弧中点的概念) ⌒ 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分. ⌒ 作法: C ⒈ 连结AB. E ⒉ 作AB的垂直平分线 CD,交弧AB于点E. B A D 点E就是所求弧AB的中点.

  10. E C D B 做一做:  1.如图,过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦 的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点. BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.

  11. 例2:一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。例2:一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得: 10 C 8 8 D 答:截面圆心O到水面的距离为6. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.

  12. O 2 .半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之间的关系: r d A B C 题后小结: 1.作弦心距和半径是圆中常见的辅助线;

  13. 想一想: 在同一个圆中,两条弦的长短与它们所对应的 弦心距之间有什么关系? C . 答:在同一个圆中, 弦心距越长,所对应的弦就越短; 弦心距越短,所对应的弦就越长. D A B O

  14. 过O作OE⊥CD于点E,延长OE交CD于点F, 做一做 2.在直径为20厘米的球形油槽内装入一些油后,截面如 图所示,如果油面宽是16厘米,求油槽中油的最大深度. 解: 连结OD. 因为OE⊥CD, O E D C F 所以油槽中油的最大深度EF=10-6=4(厘米)

  15. 3、已知:如图,⊙O 中, AB为 弦,OC ⊥AB OC交AB 于D ,AB = 6cm ,CD = 1cm. 求⊙O 的半径. 做一做 1 3 3

  16. 适度拓展 1、已知⊙O的半径为10cm,点P是⊙O内一点,且OP=8,则过点P的所有弦中,最短的弦是( ) D (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm 10 8 6

  17. O B A M 适度拓展 2.如图,⊙O的直径为10,弦AB长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是( ) A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3<OM<5 D.4<OM<5

  18. (2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之间的关系:(2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之间的关系: 课 堂 小 结 师生共同总结: 1.本节课主要内容:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理. 2.垂径定理的应用:(1)作图;(2)计算和证明. 3.解题的主要方法: (1)画弦心距和半径是圆中常见的辅助线;