第五章 图与网络分析

1. 第五章 图与网络分析 ☞ 第一节 图的基本概念 ☞ 第二节 最小树问题 ☞ 第三节 最短路径问题 第四节 最大流问题 第五节 最小费用流问题 ☞ 第六节 网络计划（统筹法）

2. 第五章 图与网络分析 1. 了解图论的基本概念，会求最小树和最短路。 2. 熟练绘制简单的网络图，掌握工序时间参数的确定方法及各种时间参数的计算。 3. 掌握网络图的优化与调整，会缩短总工期，实现时间——费用——资源的优化配置。 【学习重点】

3. 第五章 图与网络分析 图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各项领域。对于科学研究，市场和社会生活中的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加以解决。

4. 第五章 图与网络分析 随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到工程技术人员和经营管理人员的重视。

5. 第五章 图与网络分析 1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一篇科学论文，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，如下图所示。

6. A D C B 第五章 图与网络分析 当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到原出发地。 尽管试验者很多， 但是都没有成功。

7. A D C B 第五章 图与网络分析 为了寻找答案，1736年欧拉把陆地缩为一点，把桥作为连接点的边，将这个问题抽象成图形的一笔画问题。即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点。欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。

8. 第五章 图与网络分析 第一节 图的基本概念 在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。 例 有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1…v6表示这六支球队，它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜v5队，如此等等。这个胜负情况，可以用下图所示的有向图反映出来。

9. 第一节 图的基本概念 v2 v4 v1 v6 v3 v5

10. 第一节 图的基本概念 从以上的几个例子可以看出，我们用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生活中的某些特定对象之间的特定关系。一般来说，通常用点表示研究对象,用点与点之间的线表示研究对象之间的特定关系。由于在一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上是不同的。

11. 第一节 图的基本概念 一、图的定义 图论中所研究的图，是指反映或描述自然界或人类社会中，大量的事物及事物之间关系的图形。是由点和线组成的。点称为顶点，它的集合用V表示，顶点通常表示有形或无形的事物。线称为边，它的集合用E表示，边通常表示事物与事物（点与点）之间的联系或特定的关系。

12. 一、图的定义 例1某地区有五个镇A、B、C、D、E它们之间有公路相通的情况如图所示。

13. A E B D C 一、图的定义 在图论中，我们只关心两点间是否有联系，至于公路的大小、等级、状况均无关紧要，亦即不考虑线段（边）的长度，点的位置带有随意性，它们并不按比例尺画，如五个镇之间的连接图也可画成右图表示。

14. 一、图的定义 定义1： 一个图是由点集V={vi}和V中元素的无序对集E={ ek }所构成的二元组，记作：G =（V，E），其中vi 称为顶点，ek 称为边。|V|表示顶点个数，|E|表示边的个数.当V和E都是有限集合时，G为有限图，否则，称为无限图。本书只论及有限图。边是点集中元素的无序对时，称为无向图，否则称为有向图。例如下面图5-3，即为无向图.

15. 一、图的定义 无向图G =（V，E） 其中：V ＝｛v1、v2、v3、v4、v5｝ E ＝｛e1、e2、e3、e4、e5、e6、e7｝ 并且： e 1 ＝（v1、v2） e 2＝（v1、v2） e 3 ＝（v1、v3） e 4 ＝（v1、v4） e 5 ＝（v3、v4） e 6 ＝（v3、v3） e 7 ＝（v2、v5）

16. 图 5-4 一、图的定义 关联边：和同一个顶点相连的边，均称为该点的关联边，如图5-4中的e24、e34、e45均是v4的关联边。 相邻点：一条边的两个顶点，称为相邻点，如v2与v4，v4与v5等是相邻点，而v2与v5则不是。

17. 图 5-4 一、图的定义 环 环与多重边：两个顶点相同的边称为环，如e22，两个顶点之间的边数≥2时,叫多重边,如e13 ,e’13就是二重边。 二重边

18. 图 5-4 一、图的定义 次：一个顶点v具有关联边的总数称为该顶点的次，记作d(v)（每个环视作两条边），如图5-4。 d(v1)= 3，d(v2)= 4， d(v5)= 1。 把次为奇数的顶点称 为奇顶点，次为偶数 的顶点称为偶顶点。

19. v6 图 5-4 一、图的定义 悬挂点与孤立点： 悬挂点 次为1的顶点称为悬挂点，如v5。次为0的顶点称为孤立点，如v6。 孤立点

20. 一、图的定义 简单图：无环、无多重边的图称为简单图，如图5-4(a)、(b)、(c)，后面如无特殊说明，均指简单图。

21. 一、图的定义 子图与支撑子图：在图G=(V，E)中，若V1V，E1E，则图G1=(V1、E1)称为G的子图，如图5-4中的(b)就是(a)的子图。特别地：V1=V，E1E时，称G1是G的支撑子图(生成子图）。如图5-4中(c)、(b)都是(a)的支撑图。

22. 一、图的定义 定理1在任何图中顶点次数总和等于边数的2倍。 定理2任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 即奇顶点必有偶数个。 例2某产品鉴定会上，到了15名专家，若每人至 少握手3次，则至少有一个人握手超过3次。

23. 二、连通图 定义2无向图G=(V，E)中，称某些点及其关联边的交替序列{v1e1 v2e2 … en-1vn }为从v1到vn的一条链，v1、vn分别称为链的始点和终点，链长为n。 若一条链的始点与终点重合，则称为闭链(在无向图中闭链又称为回路），否则，称为开链。点边序列中若只有重复的点而无重复的边，则称为简单链。点边序列中若既没有重复的点也无重复的边，则称为初等链（也称为通路）。

24. v5 e5 v4 e6 e4 v3 e9 e8 v6 e7 e10 e1 e3 v1 e2 v2 二、连通图 例如在图5-5中： S={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}是一 条连接v6、v3的链，链长为6. S1={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e5 v4 e4 v3}是一条连接v6、v3的简单 链，链长为5. S2={v6 e6 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3} 是一条连接v6、v3 的初等链。 图5-5

25. 二、连通图 连通的在无向图中，若顶点vi与vj之间存在链， 则称vi与vj是连通的。 规定：vi与自身是连通的 连通图若无向图G中的任意两个顶点都是连通的， 则称G是连通图，否则称G是非连通图。

26. 3. 网 络 一个图连同定义在其边集上的实函数一起称为一个网络．网络一般是连通图．定义在边集上的实函数称为边的权数记为 wij＝w (vi，vj) 它与边(vi，vj)具有一一对应关系，可以用以表达网络上的各种有关性质，如路长、流量、费用等等．网络的图解即在每条边旁标上相应的权数． 若一网络的每条边都是无向边，则称为无向网络，记为 N＝(G，w ) 或 N＝(V，E )

27. 3. 网 络 若一网络的每条边都是有向边，则称为有向网络，记为 N＝( D，w ) 或 N＝ ( V，A ) 若一网络中既有无向边，也有有向边，则称为混合网络． 所谓网络分析，即对网络进行定性和定量分析，以便为实现某种优化目标而寻求最优方案．这方面的典型问题有：最小树问题，最短路问题，中心问题，重心问题，最大流问题，最小费用最大流问题，网络计划问题，等等．

28. 第二节 最小树问题 一、树的基本概念 在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非常具有应用价值的图，这就是树。 例3已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。

29. 一、树的基本概念 如果用六个点 v1 … v6 代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个电话网就作成一个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图必须是连通图。并且，这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。图5-6是一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。

30. v1 v2 v3 v5 v4 v6 一、树的基本概念 图5-6

31. 一、树的基本概念 1．树 无圈且连通的无向图称为树．树一般记为T．作为树定义还可以有以下几种表述： (1) T 连通且无圈或回路； (2) T 无圈且有n－1条边（如果有n个结点）； (3) T 连通有n－1条边； (4) T 无回路，但不相邻的两个结点之间联以一边，恰 得一个圈； (5) T 连通，但去掉T 的任意一条边，T 就不连通了； （亦即，在点集合相同的图中，树是含边数最少的 连通图。） (6) T 的任意两个结点之间恰有一条初等链．

32. v3 v5 v3 v5 v1 v1 v6 v6 v2 v2 v4 v4 a b 2.支撑树 定义3设图K=(V, E I )是图G=(V, E )的一支撑子图,如果图K=(V, EI )是一个树,那么称K是G的一个支撑树或生成树。 例如,图5-7b 是图5-7a 的一个支撑树。 图5-7

33. v2 e7 e1 e4 e3 v1 e8 v5 v4 e2 e5 e6 v3 2.支撑树 定理3一个图G有支撑树的充要条件是G是连通图。 寻找连通图支撑树的方法有“破圈法”。就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个支撑树。 例4用破圈法求出下图的一个支撑树。

34. v2 v2 e1 e7 e1 e4 v4 v1 e8 e3 e8 v5 v1 v5 v4 e5 e2 e5 e2 e6 v3 v3 2.支撑树 取一个圈(v1 ,v2 ,v3 ,v1 )，在一个圈中去掉边e3。在剩下的图中，再取一个圈（v1 ,v2 ,v4 ,v3 ,v1 ），去掉边e4。再从圈 （v3 ,v4 ,v5 ,v3 ）中去掉边e6。再从圈(v1 ,v2 ,v5 ,v4 ,v3 ,v1）中去 掉边e7，这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如 图所示。

35. 二、最小生成树及其算法 1．最小生成树 一个网络图可以有多个生成树．记N的所有生成树的集合为： T＝{ Tk | k＝1，2，…，L} 设Tk＝（V， Ek ）是网络图N＝（G，w）的一棵生成树，则边集Ek中所有边的权数之和称为树Tk 的权数，记为 则称 T * 为网络N的一棵最小生成树，简称最小树．

36. b 4 c 5 2 2 a 2 d 4 6 3 e 5 f 1．最小生成树 最小树 比如，城市间交通线的建造等，可以归结为这一类问题。 再如前面例3，在已知的几个城市之间联结电话线网，要求总长度最短和总建设费用最少，这类问题的解决都可以归结为最小树问题。

37. 2．最小树的求法 定理4如果把网络的点集分割成两个不相交的非空集合和，则联结和的最小边必包含于N 的最小树内． 根据定理4，可以给出求最小树的两种方法，这就是避圈法与破圈法，分述如下：

38. v2 v3 v1 4 1 1 2 1 3 1 4 4 v8 v4 v0 5 5 4 2 5 v7 v5 3 2 v6 2．最小树的求法 从网络中任选一点 例 (1)避圈法： 从网络图中任意节点开始寻找与该节点关联的权数最小的边，使之于以选边不构成为圈，直到选够n-1条边为止。 最小树，权为13

39. v2 v3 v1 4 1 1 2 1 3 1 4 4 v8 v4 v0 5 5 4 2 5 v7 v5 3 2 v6 2．最小树的求法 (2)破圈法： ① 在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已经得到最短树或网络不存在最短树； ② 去掉该圈中权数最大的边； 反复重复 ① ② 两步，直到最小树。

40. 第三节 最短路径问题 最短路径问题是图论中十分重要的最优化问题之一，它作为一个经常被用到的基本工具，可以解决生产实际中的许多问题，比如城市中的管道铺设，线路安排，工厂布局，设备更新等等。也可以用于解决其它的最优化问题。

41. v2 v4 6 3 3 1 4 v1 2 v6 5 6 1 v3 v5 第三节 最短路径问题 例5如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从v1出发，经过这个交 通网到达v6， 要寻求总路 程最短的线 路。

42. 第三节 最短路径问题 从v1到v6的路线是很多的。比如从v1出发，经过v2 ,v4到达v6或者从v1出发，经过v2，v3，v5到达v6等等。但不同的路线，经过的总长度是不同的。例如，按照第一个线路，总长度是3+6+3=12单位，按照第二个路线，总长度是3+1+1+6=11单位。

43. 第三节 最短路径问题 一、基本概念 给定一个赋权有向图D＝ ( V，A ) ,对每一条弧aij＝w (vi，vj)，相应地有权w (aij )= wij ，又有两点vs、vt ∈V,设 p 是 D 中从vs 到vt 的一条路，路 p 的权是 p 中所有弧的权之和,记为w(p)．最短路问题就是求从vs 到vt 的路中一条权最小的路 p*:

44. 第三节 最短路径问题 二、最短路问题的算法 下面仅介绍在一个赋权有向图中寻求最短路的方法——双标号法（Dijkstra算法），它是在1959年提出来的。目前公认，在所有的权wij≥0时，这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点vs到任意一个点vj的最短路。

45. v2 v4 6 3 3 1 4 v1 2 v6 5 6 1 v3 v5 二、最短路问题的算法 例6求v1到v6的最短路。 （1）首先给v1以P标号，P(v1)＝0，给其余所有点T标号，T(vj)＝＋∞（ j = 2，3，… 6) +∞ +∞ (0) +∞ P标号以（ ）形式标在结点旁边，T标号以不带（）的数字标在结点旁边. +∞ +∞

46. +∞ +∞ v2 v4 6 3 3 (0) 1 4 +∞ v1 2 v6 5 6 1 v3 +∞ +∞ v5 二、最短路问题的算法 P(v2 )= 3 T(v4)= 9 （2）考察v1: T(v2)=min [T(v2)，P(v1) +a12] ＝min [∞，0＋3] = 3 T(v3)=min [T(v3)，P(v1) +a13] ＝min [∞，0＋5] = 5 所以，P(v2 )= 3 （3） 9 （3）考察v2: T(v3)=min [T(v3)，P(v2) +a23] ＝min [5，3＋1] = 4 T(v4)=min [T(v4)，P(v2) +a24] ＝min [∞ ，3＋6] = 9 所以，P(v3)=4 5 （4） T(v3 )= 5 P(v3 )= 4

47. v2 v4 9 （3） 6 3 3 (0) 1 4 +∞ v1 2 v6 5 6 1 v3 +∞ v5 （4） 二、最短路问题的算法 T(v4)= 8 P(v4)= 7 T(v6)= 11 （4）考察v3:T(v5)=min [T(v5)，P(v3) +a35] ＝min [∞，4＋1] = 5 T(v4)=min [T(v4)，P(v3) +a34] ＝min [9，4＋4] = 8 所以，P(v5)= 5 8 （7） （5）考察v5: T(v6)=min [T(v6)，P(v5) +a56] ＝min [∞，5＋6] = 11 T(v4)=min [T(v4)，P(v5) +a54] ＝min [8，5＋2] = 7 所以，P(v4)= 7 11 （5） P(v5)= 5

48. v2 v4 （3） （7） 6 3 3 (0) 1 4 11 v1 2 v6 5 6 1 v3 v5 （5） （4） 二、最短路问题的算法 P(v6)= 10 （6）考察v4: T(v6)=min [T(v6)，P(v4) +a46] ＝min [11，7＋3] = 10 所以，P(v6)= 10 所有点都标上 P 标号． (10) (7) 标出最短路 v1到v6的最短路可从v1开始，根据永久性标号数值回溯得到．

49. v2 v4 （3） （7） 6 3 3 (0) 1 4 v1 2 v6 5 6 1 v3 v5 （5） （4） 二、最短路问题的算法 (7) 标出最短路 最短路径是：v1→v2→v3→v5→v4→v6 ，路长10．同 时得到，到其余各点的最短路，即各点的永久性标号P（vi）． 注意： 双标号法只适用于所有wij≥0的情形，当赋权有向图中存在负权时，则算法失效． (10)

50. 小 结 ☞ 第一节 图的基本概念 ☞ 第二节 最小树问题 ☞ 第三节 最短路径问题