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§3 ． 12 等腰三角形的性质

§3 ． 12 等腰三角形的性质. 四皓中学 　冀小军. 一、学习目标. 1 ．理解并掌握等腰三角形的性质，并能灵活 应用该性质进行有关证明和计算． 2 ．理解并掌握等腰三角形的轴对称性及添加 辅助线的方法，强化图形之间的联系．. 二、重点难点. 本节的重点是：等腰三角形的判定定理、 性质定理及其推论． 本节的难点是：灵活运用等腰三角形的 判定定理性质定理及其

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§3 ． 12 等腰三角形的性质

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  1. §3．12 等腰三角形的性质 四皓中学 　冀小军

  2. 一、学习目标 1．理解并掌握等腰三角形的性质，并能灵活 应用该性质进行有关证明和计算． 2．理解并掌握等腰三角形的轴对称性及添加 辅助线的方法，强化图形之间的联系．

  3. 二、重点难点 本节的重点是：等腰三角形的判定定理、 性质定理及其推论． 本节的难点是：灵活运用等腰三角形的 判定定理性质定理及其 推论，其中等边三角形 的性质也是本节应掌握 的知识点．

  4. 三、引入 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了 具有一般三角形所具备的性质以外，还具有其 特殊的性质，因而它比一般三角形有更广泛的 应用. 今天我们就来学习等腰三角形的性质．

  5. 四、新课 等腰三角形性质: 1．等腰三角形两底角相等． 2．等腰三角形底边上的中线、底 　 边上的高和顶角的平分线重合．

  6. 四、新课 如图，在△ABC中， (1)∵ AB＝AC，∠1＝∠2， ∴ AD⊥BC，BD＝DC. (2)∵ AB＝AC，BD＝DC， ∴ AD⊥BC，∠1＝∠2. (3)∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴ BD＝DC，∠1＝∠2.

  7. 四、新课 等边三角形性质 等边三角形的各角、各边都相等， 并且每个角都等于60°.

  8. 四、新课 例1已知：如图，在△ABC中，AB＝AC， D为 AC边上一点，且BD＝BC＝AD. 求：△ABC的各角的度数. 【分析】由于图中各边关系等量关系比较多,可考虑通过列方程来解出．

  9. 例1已知：如图，在△ABC中，AB＝AC， D为 AC边上一点，且BD＝BC＝AD. 求：△ABC的各角的度数. 四、新课 四、新课 【解】 ：∵ AB＝AC，BD＝BC＝AD(已知)， ∴ ∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD (等边对等角). 设 ∠A＝x°， ∴ ∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x° (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和). 又∵ ∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°， ∴ x＋2x＋2x＝180(三角形内角和定理)． 解得 x＝36. ∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.

  10. 例2如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D， 延长BC至E，使得EC＝DC，DM⊥BC于M， 求证：M是BE的中点. 【分析】欲证M为BE的 中点，须证BM＝ME，转 化为证 △BDM≌△EDM(AAS).

  11. 【证明】(1)先证∠E＝30°. ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵ BD⊥AC于D， ∴ BD平分∠ABC. ∴ ∠DBC＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°. ∵ EC＝DC， ∴ ∠CDE＝∠E. ∵ ∠DCB＝(∠CDE＋∠E)， ∴ 60°＝2∠E. ∴ ∠E＝30°. 例2如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D， 延长BC至E，使得EC＝DC，DM⊥BC于M， 求证：M是BE的中点.

  12. (2)再证：M是BE的中点 ∴ ∠DBC＝∠E. ∴ DM⊥BC于M． ∴ ∠DMB＝∠DME. 在△BDM和△EDM中， ∴ △BDM≌△EDM(AAS). ∴ BM＝EM． 故M是BE的中点． 例2如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D， 延长BC至E，使得EC＝DC，DM⊥BC于M， 求证：M是BE的中点. 四、新课

  13. 四、新课 例2如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D， 延长BC至E，使得EC＝DC，DM⊥BC于M， 求证：M是BE的中点. 【点评】等腰三角形的性质是通过线段相等证明角相等的主要工具之一．

  14. 例3 △ABC中，AB＝AC，∠A＝120°， AB的 中垂线交AB于D，交CA延长线于E. 求证：DE＝ BC. 四、新课 【分析】此题没有给出图形， 那么依题意，应先画出图形.题 目中是求线段的倍半关系，观 察图形，考虑取BC的中点.

  15. 例3△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°， AB的 中垂线交AB于D，交CA延长线于E. 求证：DE＝ BC. 【证明】过点A作AF⊥BC于F. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴ ∠B＝∠C＝30°. ∴ ∠1＝∠2＝60°，BF＝ BC (等腰三角形三线合一). ∴ ∠3＝60°(邻补角定义). ∴ ∠1＝∠3. 又 ED垂直平分AB， ∴ ∠AED＝30°(直角三角形两锐角互余)， ∴ AD＝DB(线段垂直平分线定义). ∠EDA＝∠EDB＝90°． 未完,待续

  16. 例3 △ABC中，AB＝AC，∠A＝120°， AB的 中垂线交AB于D，交CA延长线于E. 求证：DE＝ BC. 连结BE，在△EDA和△EDB中， ∴ △EDA≌△EDB(SAS). ∴ EA＝EB. ∠EBA＝∠3＝60°． ∴ ∠BEA＝60°． 四、新课 接上页证明 未完,待续

  17. 例3 △ABC中，AB＝AC，∠A＝120°， AB的 中垂线交AB于D，交CA延长线于E. 求证：DE＝ BC. 作BM⊥AE， ∴ ∠EMB＝∠AMB＝90°． 在△EMB和△AMB中， 同理可证△EMB≌△AMB(AAS). ∴ BE＝BA. ∴BA＝EA. 四、新课 接上页证明 未完,待续

  18. 例3 △ABC中，AB＝AC，∠A＝120°， AB的 中垂线交AB于D，交CA延长线于E. 求证：DE＝ BC. 四、新课 【点评】(1)根据题意，先准确地画出图 形，是解几何题的一项基本技能． (2)当遇到问题时要考虑另辟新径，最终使问 题得以解决． (3)本题我们还可以先证明含30°角的直角三 角形中边和边的特殊关系，再通过这个结论证明 此题.

  19. 四、新课 例4已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E 分别是BC上的点，并且AD＝AE. 求证：BD＝CE. 【分析】本题中给出了AB＝AC，AD＝AE，△ABC和△ADE均为等腰三角形，在证明等腰三角形的题目中，经常作出顶角的平分线、底边上的高或底边上的中线，利用等腰三角形的性质证明，故作出BC边上的高AF.

  20. 四、新课 例4已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E 分别是BC上的点，并且AD＝AE. 求证：BD＝CE. 【证明】作AF⊥BC于F. ∵ AB＝AC(已知)， ∴ BF＝CF (等腰三角形底边上的高平分底边). ∵ AD＝AE(已知)， ∴ DF＝EF(等腰三角形底边上的高平分底边). ∴ BF－DF＝CF－EF(等量减等量差相等). 故　BD＝CE.

  21. 四、新课 例4已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E 分别是BC上的点，并且AD＝AE. 求证：BD＝CE. 【点评】此题若采用三角形全等的方法 证明，不仅烦琐，且易出错.在有关等腰 三角形的几何题目中，我们经常采用添 加辅助线的方法，作出等腰三角形顶角 的平分线、底边上的高或底边上的中线， 利用等腰三角形“三线合一”的性质加以判定，但是如何添加这条辅助线，一定要看清题目中的条件，不要盲目添加．同学们可以对比一下，本题中若作BC边的中线AF或为∠BAC的平分线AF，证明过程中有会怎样呢？从中体会一下辅助线的作法.

  22. 练 习 (一)填空题： 1．等腰三角形一个角是100°，那么它的另外 两个角分别为； 2．如果等腰三角形的两边长分别是4cm，7cm， 则周长是； 3．等腰三角形的周长是8，它的腰长为整数，则 腰长为； 4．角平分线平分对边的三角形是三角形； 40° ，40° 15cm或18cm 3 等腰

  23. 练 习 (一)填空题： 5．底角等于顶角一半的等腰三角形 是三角形； 6．等腰三角形腰上的高与底边的夹 角等于它的顶角的； 7．等腰三角形两底角的平分线的 长； 8．等腰三角形顶角平分线是， 是； 等腰直角 一半 相等 底边上中线 底边上的高

  24. 练 习 (一)填空题： 9．一个等腰三角形中，角平分线，高线和中线的总数是条； 10．等腰三角形有一条边长是另一条边长的2倍，周长是50，则腰长为． 7或3条 20

  25. 练 习 (二)解答题： 1．等腰三角形的一个角是46°， 求它的另外两个角的度数. (1)当底角是46°时，这个三角形的另外两 个角的度数为46°和88°. (2)当顶角是46°时， 这个三角形的另外两个角的度数为67°和67°

  26. ∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°， 或∠A＝ ，∠ABC＝∠C＝ . 练 习 (二)解答题： 2．已知：△ABC中，AB＝AC，D是AC 上一点，BD把△ABC分成两 个等腰三角形， 试求：△ABC三个内角的大小.

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