函数的单调性

函数的单调性

从图象可以看到： 图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+ ）上取值时，随着x的增大，相应的y值也增大，即如果取x1，x2 [0，+ ），得到y1=f(x1) ， y2=f(x2 ),那么当x1<x2时有y1<y2。这时我们就说函数y=x2在[0，+ ）上是增函数。图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间（- ，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1，x2 （- ，0），得到y1=f(x1) ， y2=f(x2 ),那么当x1<x2时有y1>y2。这时我们就说函数y=x2在（- ，0）上是减函数。 y=x2 y2 y1 y1 y2 x2 x1 x2 x1

y=x3

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1) <f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数 y=f(x) f(x2) f(x1) x1 x2

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 <x2时，都有f(x1) >f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数 y=f(x) f(x1) f(x2) x1 x2

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间中做y=f(x)的单调区间。在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间中做y=f(x)的单调区间。在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。例1：解：函数y=f(x) 的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y=f(x)在区间[-5，-2)， [1，3)上是减函数，在区间[-2，1)， [3，5]上是增函数。 y=f(x)

例2： 证明函数f(x) =3x+2 在R上是增函数。证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1 <x2，则 f(x1) -f(x2) =（3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)。由x1 <x2，得x1 -x2 <0，于是 f(x1) -f(x2) <0，即 f(x1) < f(x2) 所以，f(x) =3x+2 在R上是增函数。

证明函数单调性的步骤： 1、设x1，x2属于给定区间 2、作差f(x1) --f(x2)并判断符号 3、根据函数的单调性定义肯定此命题成立

例3： 证明函数在上是减函数。

小结： • 1.有关单调性的定义； • 2.关于单调区间的概念； • 3.判断函数单调性的常用方法：定义法

练习 1、如图，已知函数y=f(x),y=g(x)的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。 y=f(x), y=g(x)

2、证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数。

作业 • 课本P64习题2.3 1～5

函数的单调性

函数的单调性

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