10 장 . 대기모형

1. 10장. 대기모형 제3편 경영과학적 방법론 산업경영공학 공재현 kongjaehyun@gmail.com

2. 목차 • 서론 • 시스템의 특성 • 시스템 성능의 척도 • 대기모형

3. 서론 • 대기행렬이론 • 대기행렬이론(Queueing theory)은 대기행렬(queue, waiting line)을 수학적으로 다루는 이론이다. 이 이론은 대기행렬에 도착하는 것과 대기하는 것 그리고 서비스되는 일련의 프로세스들에 대한 수학적, 확률적 분석을 가능하게 한다. 시스템의 평균 대기시간, 대기행렬의 추정, 서비스의 예측 등을 현재 상태를 기반으로 한 시스템의 확률을 기반으로 하여 성능을 측정하는 유용한 도구이다. 대기행렬이론은 경영관리, 산업공학, 통신 네트워크의 성능분석 및 설계(패킷스케줄링 정책, 자원관리)등 여러 분야에서 강력한 도구이다. (위키백과) • 대기행렬? • 고객의 불규칙한 도착과 서비스 시간의 불균형으로 인하여 기다리는 상태를 초래 • 은행창구, 매표소, 터미널, 계산대, 간이음식점, 비행기 예약소, 극장…

4. 서론 • 대기행렬이론 • 대기행렬이론(Queueing theory)은 대기행렬(queue, waiting line)을 수학적으로 다루는 이론이다. 이 이론은 대기행렬에 도착하는 것과 대기하는 것 그리고 서비스되는 일련의 프로세스들에 대한 수학적, 확률적 분석을 가능하게 한다. 시스템의 평균 대기시간, 대기행렬의 추정, 서비스의 예측 등을 현재 상태를 기반으로 한 시스템의 확률을 기반으로 하여 성능을 측정하는 유용한 도구이다. 대기행렬이론은 경영관리, 산업공학, 통신 네트워크의 성능분석 및 설계(패킷스케줄링 정책, 자원관리)등 여러 분야에서 강력한 도구이다. (위키백과) • 서비스 용량의 계획 및 분석을 위해주로 이용됨 • 대기행렬? • 고객의 불규칙한 도착과 서비스 시간의 불균형으로 인하여 기다리는 상태를 초래 • 은행창구, 매표소, 터미널, 계산대, 간이음식점, 비행기 예약소, 극장…

5. 서론 • 고객? • 대기 중인 주문들, 빈 트럭, 처리되어져야 할 업무, 수리를 기다리는 장치, 정박중인 배들, 착륙을 기다리는 비행기, 간호사를 기다리는 환자, 정지신호를 기다리는 자동차.. • 현대의 대기이론 • A.K Erlang의 전화시설 연구로부터 시작 • 확률이론과 수리적 모델을 이용한 분석법

6. 서론 • 왜 대기가 발생하는가? • 시스템이 저부하(시설이 많은 경우)인 경우에도 대기 발생 • 도착시간과 서비스 시간이 모두 가변적  시스템은 비정기적으로 과부하(휴무) 상태  대기행렬 발생 • 거시적 관점에서의 시스템 저부하상태 vs. 미시적 관점에서의 과부하상태 • 두 시간이 일정한 경우는? • 저부하 상태의 시스템에서 발생하지 않을 수 있다.

7. 서론 • 대기행렬 분석의 목적 • 두가지 비용에 대한 분석 • 고객이 서비스를 받기 위해 기다리는 것과 관련한 비용 • 대기를 위한 공간 비용, 고객의 대기 거부로 인한 비용, 미래 발생 가능한 비용 등… • 고객 대기시간에 관한 비용 산출의 어려움  대기시간 또는 대기행렬의 길이를 정책변수로 사용 • 서비스 용량과 관계된 비용 • 세차장의 격실 수, 고장기계 수리공의 수, 슈퍼마켓의 계산대 수, 고속도로 진입창구 수 등… • 분석목적 : 서비스 용량을 제공하기 위한 비용과 서비스를 기다리는 고객의 대기비용을 조절하는 것  총비용을 최소화시키는 서비스 용량의 수준을 결정

8. 시스템의 특성 • 인구자원(The population source) • 무한자원(Infinite source) • 고객의 잠재적인 숫자는 시스템의 용량을 크게 초과 • 서비스가 특정 고객에 제한되지 않는 상황에서 존재 • 슈퍼마켓, 약국, 은행, 식당, 극장, 오락실… • 유한자원(Finite source) • 정해진 대수의 기계를 책임진 수리공, 담당 환자가 정해진 간호사… • 종사자(channel)의 수 • 대기시스템의 용량은 각 종사자의 능력과 사용되는 종사자의 수들의 함수(server = channel) • 단일 채널 vs. 다수 채널 • 단일 국면(single phase) vs. 다수 국면(단계)

9. 시스템의 특성 고객 대기행렬 서비스장치 단일채널 대기시스템 시스템 네 개의 기본적 대기 시스템

10. 시스템의 특성 • 도착과 서비스의 형태 • 가변성  수학적 분포로 표현 • 일반적 가정 • 고객의 도착률(arrival rate)  포아송 분포 • 서비스 시간  지수분포  도착률 또는 서비스율 : 포아송 분포 • 도착간 시간 또는 서비스시간 : 지수분포 시간당 12고객 서비스 가능(서비스 율)  평균 서비스 시간 5분(서비스 시간) 시간당 10명의 고객 도착(도착률)  평균 도착 시간 6분(도착 간의 평균 시간) f(t)  : 도착률 지수분포: f(t) = e-t 시간(t)

11. 시스템의 특성 • 대기의 분류(서비스의 순서) • 선착순 서비스(FCFS:First Come First Served) • 은행, 상점, 극장, 식당 … • 우선순위에 의한 서비스 순서… • Dispatching Rules in scheduling

12. 시스템 성능의 척도 • 대기행렬 또는 시스템에서 대기중인 고객의 평균숫자 • 대기행렬 또는 시스템에서 보내는 고객의 평균대기시간 • 장치의 사용비율을 뜻하는 시스템의 활용도 • 용량의 수준과 대기행렬에 관계된 내재비용 • 시스템 활용도와 대기행렬의 길이 및 평균대기시간과의 관계 • 시스템 활용도가 증가할수록 대기행렬의 길이와 평균대기 시간이 기하급수적으로 증가  시스템 활용도를 목적으로 하지 않고, 비용의 합을 최소화하는 것을 목적으로 한다.

13. 대기모형 • 가장 일반적인 대기 모형(도착은 포아송 분포) • 무한자원 • 단일채널, 지수서비스시간 • 단일채널, 일정서비스시간 • 다수채널, 지수서비스시간 • 유한자원 • 단일/다수채널, 지수서비스시간

14. 대기모형 • 모형 1:단일채널(지수서비스시간) • 하나의 종사자(단일팀), 선착순서비스, 도착 포아송분포, 서비스 지수시간

15. 대기모형 • 문제 10-1 • 한 항공회사가 한 명의 종사원을 가지는 영업점을 새로 생긴 백화점 내에 개설하려고 한다. 시간당 평균 15건의 정보와 예매요구가 있을 것으로 추정되며, 이 요구는 포아송 분포를 따르는 것으로 가정된다. 비슷한 영업점으로부터의 이전 경험에 의하면 한 요구당 평균 3분 정도의 서비스 시간이 필요한 것으로 알려졌다. 다음을 구하여라. • 시스템 활용도 • 종사자의 휴무시간 비율 • 서비스를 받고자 대기중인 고객의 기대숫자 • 시스템 내에서 고객이 평균적으로 소비해야 할 시간 =15, =20

16. 대기모형 • 모형 2 : 단일채널(일정시간서비스) • 대기행렬의 대기인 수, 평균대기시간 등이 모형1에 비해 절반

17. 대기모형 • 문제 10-2 • 왕씨 세차장은 5분 작동 자동세차기계 한 대를 가지고 있다. 어떤 토요일 아침에 차들은 시간당 평균 8대의 비율로써 도착하였고 도착들은 포아송분포를 따르는 경향을 보였다. 다음을 구하라. • 행렬에서 대기중인 차들의 평균숫자 • 행렬과 서비스에서 차들이 소모하는 평균시간 =8, =12

18. 대기모형 • 모형 3 : 다수 채널 • 가정 • 도착률의 포아송 분포와 지수서비스 시간 • 동일한 평균 능률로 서비스하는 종사자들 • 하나의 고객 대기 행렬(FIFS) • 시스템 성능 평가를 위한 값을 구할 수 있는 표 10-2 (p.234-235) • 종사자 수(M) • 서비스율과 도착률의 비율 r = λ/μ • r값을 구한다 • 표의 왼쪽에서 해당되는 r 값을 찾는다. 대기중인고객의 평균숫자가 결정되면 다음 식을 이용하여 계산한다.

19. 대기모형 • 문제 10-3 • 갑을 택시회사는 10대의 택시를 공항에 상주시키고 있다. 평일날 밤의 늦은 저녁 동안에 고객들의 택시 요구는 시간당 평균 9.6의 포아송분포를 따르는 것으로 알려졌다. 서비스 시간은 평균 50분의 지수분포를 따른다. 합승이 불가능할 때 다음의 각 값들을 구하여라. • 시스템 활용도 • 택시를 기다리는 평균숫자 • 택시를 기다리는 고객의 평균 대기시간 =9.6, =1.2, M=10

20. 대기모형 • 문제 10-4 • 갑을 택시회사는 또한 새로운 기차역에 택시들을 배치시키려고 계획하고 있다. 고객들의 도착률은 시간당 4.8고객으로 추정되며 서비스율은 기차역으로 되돌아오는 시간을 표함하여 시간당 1.5로 추정되었다. 시스템 내에서의 소요시간이 한 시간 미만이 되려면 몇 대의 택시를 배치시켜야만 할까? =4.8, =1.5, M=? M은 무조건 4이상이 되어야 함. (과부하문제) 5대 이상의 택시가 필요