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1.3 n 阶行列式的计算

1.3 n 阶行列式的计算. 例 1.8 求方程. 的根。. 解：. 所求根为 x=2 和 x=-4 。. 例 1 ． 10 计算 n+1 阶行列式. 解. 例 1 ． 11 设 n 阶三对角行列式. 证明 : 递推关系式. 证明 对第 n 列用性质 6 展开，得. 例 1.12 计算 n 阶行列式. 例 1 ． 13 证明 n 阶行列式. 证明 对行列式阶数 n 用数学归纳法证明. n=2 时，. 结论成立。. 假设结论对 n-1 阶行列式成立，即. 则对于 n 阶行列式 有.

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1.3 n 阶行列式的计算

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  1. 1.3 n阶行列式的计算 例1.8 求方程 的根。 解：

  2. 所求根为 x=2 和 x=-4。

  3. 例1．10 计算n+1阶行列式 解

  4. 例1．11 设 n阶三对角行列式

  5. 证明 :递推关系式 证明 对第n列用性质6展开，得 例1.12 计算n阶行列式

  6. 例1．13 证明n阶行列式 证明 对行列式阶数n用数学归纳法证明 n=2时， 结论成立。

  7. 假设结论对n-1阶行列式成立，即 则对于n阶行列式 有

  8. 例1.14 证明n阶范德蒙德（Vandermonder）行列式 证明 对行列式阶数n用数学归纳法，n=2时， 结论成立。

  9. 假设结论对n-1阶行列式成立，即 则对于n阶行列式 有

  10. 由数学归纳法，结论对任意自然数n都成立. 1．4 拉普拉斯（Laplace）展开定理 定义1.7 在n阶行列式D中,任取k行k 列,位于这k 行k 列交叉位置的元素按原行列式D中的相对位置 排成的k阶行列式N称为行列式D的一个k阶子式.

  11. 定义：在D中,划去k阶子式N所在的k行k 列,剩余 元素按原行列式D中的相对位置排成的n -k阶行列 式M称为k阶子式N 的余子式. 如果子式N的k行k列在D中的行标与列标分别为 则称 为N的代数余子式. 例如, 在5阶行列式 中,取第2,4行和第1,4列, 是D的一个二阶子式,

  12. 是N的余子式; 为N的代数余子式. 定理1.3 (Laplace定理) 设在n阶行列式D中,取 某k行,则位于这k行的所有k 阶子式 与它们各自对应的 代数余子式 的乘积之和等 于行列式D, 即

  13. 解 对D的第1,3 行用Laplace定理,在第1,3 行中不为零的二阶子式分别是 它们各自对应的代数余子式是 所以 D=12-6=6

  14. 例 1.16 计算2 n阶行列式

  15. 解 对的第n, n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1 行展开）得

  16. 利用这个递推关系式有

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