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主讲教师: 杨厌聊

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主讲教师: 杨厌聊

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  1. 数学 主讲教师:杨厌聊

  2. 椭圆及其标准方程 1

  3. P F1 F2 P 圆的定义是什么? o 把一个定点改为两个定点F1和F2,把距离为定长改为到两个定点F1和F2距离的和为常数2a(大于︱F1F2︱=2c) 1.一个定点 2.距离为定长 那么动点的轨迹为椭圆.

  4. P y F1 F2 O x 把平面内与两个定点F1和F2距离的和为常数2a(大于︱F1F2︱=2c)的动点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1,F2——椭圆的焦点,两焦点间 的距离︱F 1F2︱——椭圆的焦距 设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点 P到F1,F2的距离的和为2a(2a>2c). 以F1,F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0). 设椭圆上任意一点P的坐标为(x,y) , 根据椭圆定义知:PF1+PF2=2a,

  5. y 移项得: P 两边平方得: F1 O F2 x 整理得: . 即: 根据椭圆定义知:PF1+PF2=2a, 整理得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). 又因为a2-c2>0,所以可设a2-c2=b2(b>0),于是得: 为焦点在轴的椭圆的标准方程

  6. y y P F2 F1 O F2 x x O P F1 椭 圆 的 标 准 方 程

  7. 说 明: (1)与方程有关的三个数a,b,c中, a为最大,且满足 b2=a2-c2.  (2)椭圆的焦点位置可由方程中x2与 y2的分母的大小来确定,焦点在大分母的项的分子所对应的坐标轴上. (3)在求椭圆的标准方程时,必须注意两点:    一定位:判定焦点位置;    二定量:用带定系数法求a2,b2

  8. 练 习 1.已知椭圆的方程为 ,则a=_____,b=_____,c=_____,焦点坐标为_______________,焦距等于_____. 5 3 (-4,0),(4,0) 4 8 2.如果椭圆      上一点P到焦点F1的距离等于6,则点P到另一个焦点F2的距离是.  3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两个焦点的距离的和等于10,求椭圆的标准方程.

  9. 例1 已知B、C是两个定点,︱BC︱=6,且 △ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程。

  10. y 因为Q点为椭圆 上的点 Q M x O A - 2 2 所以有 即 所以点M的轨迹方程是 例2.已知x轴上的一定点A(1,0),Q为椭圆 上的动点,求AQ中点M的轨迹方程. 解:设动点M的坐标为(x,y),则Q的坐标为(2x-1,2y)

  11. 解: 已知圆可化为 y r = 8 M x O Q P 则 为半径 又圆M和圆Q内切,所以 故动圆圆心M的轨迹方程是: 例3.已知定圆Q: ,动圆M和已知圆内切且过点P(-3,0),求圆心M的轨迹及其方程 圆心Q(3,0),所以P在定圆内 设动圆圆心为M(x,y) , 即|MP|+|MQ|=8,故M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,且PQ中点为原点.

  12. y O x 例4 过点(2,1)引直线PQ与椭圆 相交P,Q两点,若点A 恰好是线段PQ的中点,求直线PQ的方程. 解法一:

  13. y O x 例4 过点(2,1)引直线PQ与椭圆 相交P,Q两点,若点A 恰好是线段PQ的中点,求直线PQ的方程. 解法二:

  14. y B M x O A 例5 解: .

  15. y B M x O A

  16. y B . M x O A 例5 解法二:

  17. y B M x O A

  18. y x O 例6 解: . B . M A

  19. . B . M A y x O

  20. . B . M A y x O 例6 解法2

  21. . B . M A y x O 解法3

  22. 椭圆的标准方程: • 根据已知条件求椭圆的标准方程: (1)确定焦点所在的位置,选择标准方程的形式; (2)求解a,b的值,写出椭圆的标准方程. (3)在涉及到中点和斜率问题时,尽量用点差法简化计算过程.

  23. 课后练习: (1)已知椭圆 上一点P到椭圆的一个焦点 的距离为3,则P到另一个焦点的距离是 ( ) A.2 B.3 C.5 D.7 (2)已知椭圆方程为 ,那么它的焦距是 ( ) A.6 B.3 C.3 D.

  24. (3)如果方程 表示焦点在y轴上的椭 圆,那么实数k的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1) (4) 过点A(-1,-2)且与椭圆 的两个焦点相同的椭圆标准方程是_________ (5)过点P( ,-2),Q(-2 ,1)两点的椭圆标 准方程是______

  25. ⑹α∈(0,π/2),方程x2sinα+y2cosα=1,表示焦点在y轴上的椭圆,则α∈____.⑹α∈(0,π/2),方程x2sinα+y2cosα=1,表示焦点在y轴上的椭圆,则α∈____. • (参考答案:π/4,π/2) • ⑺已知椭圆mx2+y2=8与9x2+25y2=100的焦距相同,则m=_________. • (参考答案: 9或9/17) • ⑻求与椭圆x2/5+y2/4=1有公共焦点,且过点(3,0)的椭圆的标准方程。 • (参考答案: x2/9+y2/8=1) • ⑼已知椭圆x2+2y2=a2(a>0)的左焦点到直线l:x-y-2=0的距离为 ,求椭圆方程。 • (参考答案: x2/8+y2/4=1)

  26. (10)一动圆与圆A:(x+3)2+y2=1外切,与圆B:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程。(10)一动圆与圆A:(x+3)2+y2=1外切,与圆B:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程。 (参考答案: x2/25+y2/16=1) (11)椭圆x2/12+y2/3=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,则点M的坐标是 (参考答案: P

  27. 谢谢!