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Université Paris 13. Master 1. Exemples de filtres numériques Produit de convolution Transformée en Z Filtres numériques Fonction de transfert Critère de stabilité, pôle, zéro Filtre à phase linéaire Schéma général. Traitement Numérique du Signal. 1/ Registre à décalage.

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Presentation Transcript
universit paris 13

Université Paris 13

Master 1

  • Exemples de filtres numériques
  • Produit de convolution
  • Transformée en Z
  • Filtres numériques
  • Fonction de transfert
  • Critère de stabilité, pôle, zéro
  • Filtre à phase linéaire
  • Schéma général

Traitement Numérique du Signal

Traitement Numérique du Signal

1 registre d calage
1/ Registre à décalage
  • Retard T  Multiplication par Z-1 (nT  Z-n)
  • Réalisation : Registres à décalages, décalages de pile (FIFO)

Traitement Numérique du Signal

exemple de filtrages
Exemple de filtrages

Filtres

Sorties

Entrée

t

t

t

Traitement Numérique du Signal

2 propri t s de la convolution y n h n x n
2/ Propriétés de la convolution : y[n]=h[n]*x[n]
  • Fréquence d’échantillonnage et périodicité conservées :

x[n] N-périodique alors y[n] est N-périodique

  • Invariance par translation dans le temps

Si x2[n] = x1[n-d] alors y2[n] = y1[n-d]

  • Amplification des signaux

Si x2[n] = a x1[n] alors y2[n] = a y1[n]

  • Superposition des signaux

Si x3[n] = x1[n]+x2[n] alors y3[n] = y1[n]+y2[n]

  • Filtres en cascade

Si z[n]=h2[n]*y[n] et y[n]=h1[n]*x[n]

alors h[n]=h2[n]*h1[n] et z[n]=h[n]*x[n]

  • Modification de la moyenne

moyenne(y[n]) = H(0) x moyenne(x[n])

  • Réponse forcée du système

Si x[n]=exp(j2p f0nTe) alors y[n] = H(f0) x[n]

Réponse fréquentielle

Fonction de transfert

^

^

Traitement Numérique du Signal

3 transform e en z
3/ Transformée en Z

signal causal

nTe

pôle

module

zéro

phase

|z|

f

z=exp(j2pfTe)

Traitement Numérique du Signal

propri t s de la transform e en z
Propriétés de la transformée en Z

Parité

décalage fréquentiel

Retard=>déphasage

Linéarité

Dilatation/concentration

Somme cumulée et différence entre termes successifs

Produit de convolution/produit

Sinusoïdes=>quotients

Traitement Numérique du Signal

4 filtrage
4/ Filtrage

Réponse impulsionnelle

Réponse indicielle

Réponse harmonique ou réponse fréquentielle

Fonction de transfert

Traitement Numérique du Signal

ar ma arma
AR, MA, ARMA

AR+ARMA=IIR=RII

MA=FIR=RIF

réponse impulsionnelle finie

tous les pôles sont nuls

AR

tous les zéros sont nuls

ARMA

Traitement Numérique du Signal

sch ma d un filtre du 1 er ordre
Schéma d’un filtre du 1er ordre
  • Equation récurrente : s(nTe)=s[n]=sn=A.en+B.sn-1
  • Symbolisation
  • Transformée en Z : H(Z)=A/(1-B.Z-1)

Traitement Numérique du Signal

5 equations aux diff rences filtres lin aires et r ponses fr quentielles
5/ Equations aux différences, filtres linéaires et Réponses fréquentielles

-1

z opérateur retard

Relation entrée-sortie

TZ

Fonction de transfert

Réponse fréquentielle

Traitement Numérique du Signal

p les z ros et allure de la r ponse fr quentielle
Pôles, zéros et allure de la réponse fréquentielle

Relation entrée-sortie

Fonction de transfert

zéros

factorisation

Module de la réponse fréquentielle

pôles

Phase de la réponse fréquentielle

Traitement Numérique du Signal

fonctions de transfert d composition en l ment simple et r ponse impulsionnelle
Fonctions de transfert, décomposition en élément simple et réponse impulsionnelle

Fonction de transfert

Décomposition en éléments simples

précautions

sur les calculs

pôles

-1

TZ

Réponse impulsionnelle

Traitement Numérique du Signal

6 filtres stables filtres minimum de phase
6/ Filtres stables / Filtres à minimum de phase

Im(p)

Le filtre est stable si:

Zone de

stabilité

j

Re(p)

1

Le filtre est à minimum de phase si:

Ordre du filtre = max(nb pôles,nb zéros)

Traitement Numérique du Signal

slide14

sinon

Im(p)

in-

stable

pôles

#

n

#

f

f

Re(p)

x

x

x

x

x

stable

#

#

n

f

f

Traitement Numérique du Signal

slide15

Im(p)

zéros

non

minj

pôle

#

t

#

f

f

Re(p)

x

o

o

o

o

o

minj

#

#

t

f

f

Traitement Numérique du Signal

phase
phase

et

sinon

Traitement Numérique du Signal

retard de groupe
Retard de groupe

Définition :

Impact sur le signal de sortie

en entrée :

en sortie après approximation :

En audio :

Traitement Numérique du Signal

7 filtre phase lin aire
7/ Filtre à phase linéaire
  • Symétrie de la réponse impulsionnelle
  • phase linéaire
  • le filtre est l’association d’un retard et

d’un filtre de réponse impulsionnelle paire non-causale

Traitement Numérique du Signal

r ponse impulsionnelle sym trique phase lin aire
Réponse impulsionnelle symétrique => phase linéaire

phase

non-linéaire

j linéaire

réelle

Traitement Numérique du Signal

8 temps discret filtres et transform es
8/ Temps discret : Filtres et transformées

Equation de récurrence

TFTD

TZ

Traitement Numérique du Signal