¿Qué tal van las clases, Bartolo? Me pregunta mi barbero. Bien... Dando probabilidad y estadística... Respondo. ¡Ah!

1. 3. Variable aleatoria discreta • ¿Qué tal van las clases, • Bartolo? Me pregunta mi barbero. • Bien... Dando probabilidad • y estadística... Respondo. • ¡Ah! Probabilidad... Yo • suelo jugar a la lotería... • Dice mientras me pasa la cuchilla. • Cuando compro un número, tal y como yo lo veo, hay dos posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de • probabilidad de ganar y un 50% de perder. • -¡Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es bueno contradecir a nadie que tenga una navaja en mi cuello...

2. Variable aleatoria Una variablealeatoriaX es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico real: Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función. La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Veremos en este capítulo el caso discreto.

3. Ejemplo de variable aleatoria discreta: Número de caras al lanzar 3 monedas. Elementos del espacio muestral +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC Ley de correspondencia Nº reales 0 1 2 3 caras

4. P 1/100 Voy a pensar un número entero del 1 al 100. “¿Qué numero será?” Intentaremos representar el estado de incertidumbre mediante una función matemática: la función de probabilidad ........ 1 2 3 99 100 X

5. Supongamos que me preguntáis si es par. Y respondo que no. ¿Cómo modifica la función? P 1/50 ........ 1 2 3 99 100 X Os pido una pregunta de modo que mi respuesta genere una función de incertidumbre, de probabilidad, tal que los valores con posibilidad no tengan todos la misma. ¿Son válidas: “¿Tiene dos cifras el número?”o “¿Es un número primo?”?

6. Función de probabilidad Una vez definida una variable aleatoria X, podemos definir una función de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma: La función de probabilidad debe cumplir: (Suma sobre todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria).

7. Función de probabilidad discreta ValoresProbabilidad 0 1/4 = 0.25 1 2/4 = 0.50 2 1/4 = 0.25 Z Z Z Z

8. X P(X) X P(X) X P(X) -1 0 1 2 3 .1 .2 .4 .2 .1 1.0 -1 0 1 2 3 -.1 .3 .4 .3 .1 1.0 -1 0 1 2 3 .1 .3 .4 .3 .1 1.2 Requerimientos de una distribución de probabilidad

9. Observa que aun si el espacio muestral es infinito numerable, podemos definir una variable aleatoria discreta y una función de probabilidad. Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara. Entonces: P(X = 1) = P(C) = 1/2 P(X = 2) = P(+C) = 1/2 . 1/2 = 1/4 P(X = 3) = P(++C) = 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8 etc. y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1,2,….

10. Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como: E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)} Definamos la variable aleatoria discreta X como: con S = {2,3,...,12} la suma de puntos. Una posible función de probabilidad es:

11. 6/36 P 5/36 5/36 4/36 4/36 3/36 3/36 2/36 2/36 1/36 1/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X Función de probabilidad de la variable aleatoria X Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.

12. Función de distribución Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución a la función F definida como: En nuestro ejemplo de los dos dados: F(5) = P(X  5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5) F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

13. Función de distribución de la variable aleatoria X F 1,0 0,5 0,028 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

14. 1 F(x) f(x) 0.5 x x 6 0 1 6 1 0 Función de probabilidad f(x) Función de distribución F(x) Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como: X = Número en la cara de un dado. X tiene como posibles valoresx=1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

15. Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a <X  b) de que X asuma algún valor en un intervalo. Observa que: P(a < X  b) = F(b) - F(a) Los sucesos X  a y a< X  b son mutuamente excluyentes. Entonces: F(b) = P(X  b) = P(X  a) + P(a < X  b) = F(a) + P(a < X  b) En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8. P(3 < X  8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

16. Algunas propiedades de la función de distribución F es monótona creciente. F es continua por la derecha: la probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome un valor concreto es igual al salto de la función de distribución en ese punto.

17. Realicemos ahora el siguiente experimento aleatorio: girar la ruleta de la imagen y apuntar el número del sector que coincide con la flecha. En la ruleta de la izquierda de la figura los resultados posibles son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, y la probabilidad de cada resultado es 1/8.        En la ruleta de la derecha de la figura los posibles resultados son {0, 1, 2, 3}, y las probabilidades respectivas {1/4, 1/2, 1/8, 1/8}, proporcionales al ángulo del sector.             

18. Método de Montecarlo La variable aleatoria X en el primer ejemplo de la ruleta está uniformemente distribuida, ya que todos los resultados tienen la misma probabilidad. Sin embargo, en el segundo ejemplo, la variable aleatoria X, no está uniformemente distribuida. El problema crucial de la aplicación de los métodos de Montecarlo es hallar los valores de una variable aleatoria (discreta o continua) con una distribución de probabilidad dada por la función p(x) a partir de los valores de una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1), proporcionada por el ordenador.

19. ¿Cómo simular con el ordenador la distribución de probabilidad de las ruletas?

20. Una vez visto un caso particular, el problema general puede formularse del siguiente modo: Si X es una variable aleatoria discreta cuyos posible resultados son {x0, x1, x2 , ... xn} y sean {p0, p1, p2, ... pn} sus respectivas probabilidades. Al sortear un número aleatorio g, uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), se obtiene el resultado xi, si se verifica la siguiente condición:

21. Esperanza matemática o media de un distribución discreta X P(X) X P(X) -.1 .0 .4 .4 .3 1.0 -1 0 1 2 3 .1 .2 .4 .2 .1

22. Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

23. (1) (2) Sean a, b y c constantes. Demuestra que: (1) (2) (3)

24. A un juego de azar podemos asignarle una variable aleatoria X, cuyos valores son las ganancias correspondientes a los posibles resultados. La esperanza matemática de la variable aleatoria X representa el beneficio medio o ganancia media • que se obtiene en cada jugada cuando se juega un número elevado de veces. • Si la esperanza matemática es 0 se dice que el juego es justo. • Si es mayor que 0 se dice que el juego es favorable al jugador • Si es menor que 0 se dice que perjudica al jugador y no es favorable. • Sea el juego que consiste en sacar una bola de una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos 50 euros si la bola extraída es roja y pagamos 150 euros en el caso de que sea negra. ¿Qué podemos esperar si jugamos muchas veces?

25. Espacio muestral E = {R, N}. Consideramos las ganancias como positivas y las pérdidas negativas: Variable aleatoria X Función de probabilidad 50 R 0,7 0,3 -150 N Ganancia media

26. Momento de orden k de una variable aleatoria De forma más general podemos definir la esperanza matemática o media no solo para una variable aleatoria X, sino para cualquier función T(X) como: Tomando como funciones a: obtenemos los momentos de orden k centrados en el origen:

27. Y tomando como funciones a: obtenemos los momentos de orden k centrados en la media de X: Observa que:

28. Varianza y desviación estándar o típica de una distribución discreta Varianza Desviación estándar o típica Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.

29. Ejemplo X P(X) .4 .2 .0 .2 .4 1.2 -1 0 1 2 3 .1 .2 .4 .2 .1 -2 -1 0 1 2 4 1 0 1 4

30. Calcula la varianza y desviación típica de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

31. Algunas propiedades de la varianza

32. Evidentemente: Distribución de Bernoulli Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: éxito  1 fracaso  0 Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q = 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:

33. Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

34. Distribución binomial La distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento. P. ej.: número de caras en n lanzamientos de una moneda. Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento, entonces q = 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso). En nuestro ejemplo de la moneda, p = 0.5 es la probabilidad de que salga cara y q = 1-p =1 - 0.5 = 0.5 es la probabilidad de que no salga cara.

35. Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria: X = Número de veces que ocurre A. En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara. Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n. Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n-x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenación es pxqn-x y existen idénticas ordenaciones.

36. Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p) La distribución de probabilidad P(X = k) será:

37. Ejercicio: Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas con m* >10 M?

38. Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces. p = 1/6, q = 5/6, n = 4 Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) +P(3) + P (4)

39. Características de la distribución binomial • Media • = E(X) = n p • = 5 · 0.1 = 0.5 • = 5 · 0.5 = 0.25 n = 5p = 0.1 P(X) .6 .4 .2 0 X 0 1 2 3 4 5 Desviación estándar n = 5p = 0.5 P(X) .6 .4 .2 X 0 0 1 2 3 4 5

40. Distribución geométrica Consideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el primer éxito. Definimos la variable aleatoria X, como el número de fracasos hasta que se obtiene el primer éxito. Entonces:

41. Distribución binomial negativa Consideremos el siguiente experimento: Partimos de un experimento de Bernoulli donde la probabilidad de que ocurra un suceso es p (éxito) y la probabilidad de que no ocurra q = 1- p (fracaso). Repetimos nuestro experimento hasta conseguir el r-ésimo éxito. Definimos la variable aleatoria X, como el número de fracasos x hasta que se obtiene el r-ésimo éxito. Entonces: Se denomina binomial negativa porque los coeficiente provienen de la serie binomial negativa:

42. Elegir al azar con reemplazo Elegir al azar con reemplazo significa que escogemos al azar un elemento de un conjunto y lo regresamos para elegir de nuevo al azar. Esto garantiza la independencia de las elecciones y nos lleva a una distribución binomial. Si una caja contiene N bolas de las cuales A son rojas, entonces la probabilidad de escoger al azar una bola roja es: p = A/N Si repetimos el experimento sacando n bolas con reemplazo la probabilidad de que x sean rojas es: (Una distribución binomial)

43. Elegir al azar sin reemplazo Elegir al azar sin reemplazo significa que no devolvemos el elemento elegido al azar al conjunto. De modo que las probabilidades de la siguiente elección dependen de las anteriores. Si repetimos el experimento anterior sacando n bolas sin reemplazo, ¿cuál será ahora la probabilidad de que x sean rojas? Para calcular los casos favorables observa que: N = A + (N – A). De las A bolas rojas tomaremos x y de las N – A bolas no rojas tomaremos n – x.

44. Distribución hipergeométrica

45. Queremos seleccionar al azar dos bolas de una caja que contiene 10 bolas, tres de las cuales son rojas. Encuentra la función de distribución de la variable aleatoria : X = Número de bolas rojas en cada elección (con y sin reemplazo). Tenemos N = 10, A = 3, N - A = 7, n = 2 Escogemos con reemplazo: Escogemos sin reemplazo:

46. Hipergeométrica Binomial N = 24 n = 5 X = 8 p = 8/24 =1/3 Observa que si N, A, N-A son grandes comparados con n no hay gran diferencia en qué distribución empleemos. La distribución binomial es una aproximación aceptable a la hipergeométrica si n < 5% de N. n = 5 Error P(x) P(x) x -0.0289 0 0.1028 0.1317 0.0133 1 0.3426 0.3292 0.0397 2 0.3689 0.3292 -0.0065 3 0.1581 0.1646 -0.0148 4 0.0264 0.0412 -0.0028 5 0.0013 0.0041 N = 240 n = 5 X = 80 p = 80/240 =1/3 n = 5 x P(x) P(x) Error -0.0028 0 0.1289 0.1317 0.0014 1 0.3306 0.3292 0.0035 2 0.3327 0.3292 -0.0004 3 0.1642 0.1646 -0.0014 4 0.0398 0.0412 -0.0003 5 0.0038 0.0041

47. Distribución de Poisson Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña y np (la media de la distribución binomial) es finito y tiende a  entonces la distribución binomial converge a la distribución de Poisson: Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.

48. Características de la distribución de Poisson Media = 0.5 P(X) .6   E ( X )   .4 .2 0 X Desviación estándar 0 1 2 3 4 5    = 6 P(X) .6 .4 Nota: el máximo de la distribución se encuentra en x  .2 0 X 0 2 4 6 8 10

49. La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).  = n p =  Distribución de Poisson para varios valores de .

50. La distribución binomial nos daría el resultado exacto: El suceso complementario Ac: No más de 2 televisores defectuosos puede aproximarse con una distribución de Poisson con  = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2). Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga más de 2 televisores defectuosos?