第 八 章 玻色统计和费米统计

1. 第 八章玻色统计和费米统计

2. 两个例子 光子气体 考虑一个谐振子，其能级结构为 根据 Boltzmann 统计，处于温度 T 的平衡态的该谐振子，处于能级 的概率为 其中单粒子配分函数 为

3. 如果用产生—湮灭算符 (creator-annihilator) 来描述该谐振子，则处于能级 的谐振子的可以理解为有 n 个由产生算符从“真空”中产生的粒子（如光子），则我们可以计算该谐振子在温度 T 下的平均生成的粒子数：

4. ：光子的能量 • 对比玻色分布：

5. 两能级玻色系统 一个系统含有 N 个无相互作用的玻色子，每一个粒子的能量 E 可能有两个取值： . 在温度 T 时，n 个粒子处于激发态， N-n 个粒子处于基态的位形出现的概率正比于 . 在温度 T 时，计算平均能量 ， 时处于激发态的粒子所占的比例. 如果这些粒子是经典的，因而是可以分辨的，结果会是怎样？ 解：令 则总能量的平均值 为

6. 处于激发态的粒子数的平均值为 <Etot> 和 <n> 均为有限值，因此，当 时，平均每个粒子的能量 <E> 和处于激发态的粒子所占的比例均趋于零，即出现了玻色-爱因斯坦凝聚 (Bose-Einstein condensation) . 如果粒子是经典的，由于粒子间无相互作用，且粒子可分辨，则每一个粒子的状态是相互独立的，对于任意一个粒子，它处于激发态的概率是 p/(1+p) ，它的平均能量是 ，于是有

7. 从上面例子可以看到： 从不同的角度看问题，可能采取不同的统计； 量子统计与经典统计的不同主要在于粒子的不可区分性（对于费米子还要加上不相容原理）； 共同的一点是：给定的一个位相 A 出现的概率 .

8. 1 热力学量的统计表达式

19. 配分函数取为

21. 2 弱简并理想玻色气体和费米气体 本节以分子的平动自由度为例，讨论弱简并条件 （ 或 虽小但不可忽略）下的玻色气体 和费米气体的性质，为方便起见，我们将两种气 体的性质同时讨论.

22. 其中 g 是由于粒子可能具有的自旋而引进的简并度。考虑到平动自由度的能级是准连续的，求和可以用 积分来近似，于是系统的总分子数为

27. 3 玻色－爱因斯坦凝聚

31. （已做习题，汪书 6.1）

35. 4 平衡辐射（光子气体） 4.1 平衡辐射的热力学理论（宏观处理） 4.1.1 定义 只要有温度的物体,都存在热辐射.一般而言,热辐射的 强度按频率的分布与辐射体的温度和性质有关. 热辐射：电磁波 描述电磁波的参数：波矢+极化方向 主要观测物理量： 热力学量：

36. 4.1.2 主要结论 • 平衡热辐射的特性将只取决于温度,与辐射体的其他特性无关 • 热力学理论只关注 • 压强与能量密度的关系(实验或统计物理得到) • 内能

37. 熵 • 吉布斯函数 • 光子的化学势为0！

38. 通量密度 4.2平衡辐射的统计物理理论 目的：求能量密度 及其它热力学函数. 4.2.1 微观粒子的定义 具有一定的动量 及极化方向的光子. 平面波与光子之间遵从德布罗意关系： 由波动方程可以推得 ，于是有 .

39. 4.2.2 光子的统计分布 • 光子是玻色子，遵从玻色—爱因斯坦统计， 处于能量 的一个相格的平均粒子数为 由于粒子数不守恒  化学势  • 有两个极化方向，极化简并度 g = 2

40. 4.2.3 态密度 或 • 等能面： • 等能面包含的微观状态数

41. 以 为自变量 于是在 处的态密度为

42. 4.2.4 能量密度 • 在 处的光子数密度 • 能量密度

44. 4.3 有关平衡辐射的经典公式 ——从历史出发 斯特潘-玻尔兹曼定律 斯特潘和玻尔兹曼分别于1879年和1884年发表了对黑体辐射的研究结果，即某一温度下辐射本领与温度的四次方成正比 。用普朗克公式验证：

45. 维恩位移定律 1983年，维恩从热力学导出了黑体辐射温度和特征波长的关系： 用普兰克公式验证：

46. 维恩公式 接着维恩研究了黑体辐射能量按波长的分布问题。他从热力学理论出发，在分析了实验数据之后，得到了一个半经验的公式： 维恩公式是普朗克公式的紫外极限：

47. 瑞利-金斯定律 瑞利和金斯分别于1900年和1905年用经典的统计物理方法研究得到黑体辐射的规律： 瑞利-金斯公式是普兰克公式的红外极限：

49. 普朗克公式的由来 普朗克首先从电荷谐振子出发得到了辐射能量密度和谐振子平均能量的关系 U为辐射能量密度 ，E为谐振子平均能量 结合维恩公式： 可以得到 接着他试图从单个谐振子熵和平均能量的关系寻找更深层次的物理,由Tds=dE 可得 进一步：

50. 新的实验数据表明维恩公式在低频时候是错误的 由能量均分定理：E=kT 此时应有 由于低频和高频出现了熵和平均能量的不同形式普兰克作出假设： 解得