PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS

1. PRODUCTO CARTESIANORELACIONES BINARIAS

2. Producto Cartesiano • El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B }

3. Producto Cartesiano • Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) } Note que A tiene 3 elementos B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

4. Producto Cartesiano • Ejemplo: A = { corazón, trébol, coco, espada } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } A x B = { (corazón, 1), (corazón,2),…,(corazón,12), (trébol,1), (trébol,2), …,(trébol,12), …,(espada,12) } Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

5. Producto CartesianoRepresentación en forma de Tabla • Ejemplo: A = { , } B = { , , }

6. Producto CartesianoRepresentación en forma de Diagrama • Ejemplo: A = { , } B = { , , }

7. Producto Cartesiano • Ejemplo: A = { , } B = { , , }

8. Gráfico cartesiano • Dados los conjuntos A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 } el gráfico cartesiano de A x B es: La segunda componente de cada elemento del producto cartesiano es la ordenada La primera componente de cada elemento del producto cartesiano es la abscisa

9. Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x R –1 x  1 } B = R

10. Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x R 2  x < 5 }B = { x / x R 1 < x  3}

11. Relación entre elementos de conjuntos • Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.

12. Relación entre elementos de conjuntos • Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. • Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.

13. Relaciones • Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B 3 es el correspondiente de d b está relacionado con 1

14. Conjuntos de salida y de llegada de un relación • A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada

15. Dominio de una relación • Dom(R) =  x / xA  (x,y)  R  Dom(R) = {b, c, d}

16. Imagen de una relación • Im(R) =  y / yB  (x,y) R  Im(R) = {1, 3, 4}

17. Notación • Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y significa que (x,y)  R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R. • Ej: b R 1 porque (b,1)  R

18. Relación definida en un conjunto • Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A. • Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 = A x A

19. Relación definida en un conjunto • Ejemplo: Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” • R es una relación en H. Por qué? • Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis)  R. • Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H x H.

20. Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto • Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación • Propiedad reflexiva • Propiedad simétrica • Propiedad asimétrica • Propiedad antisimétrica • Propiedad transitiva

21. Propiedad reflexiva • La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R

22. Propiedad simétrica • La propiedad simétrica dice que si un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero R es simétrica si siempre que un par (x,y)  R, el par (y,x) también pertenece a R

23. Propiedad Simétrica • Ejemplo • Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A2 son simétricas R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

24. Propiedad asimétrica • Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.

25. Propiedad antisimétrica • Una relación es antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.

26. Propiedad antisimétrica • Ejemplo • Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A2 son antisimétricas R = {(2, 2), (4, 4)} S = {(2, 4)} T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

27. Propiedad transitiva • La propiedad transitiva dice que si un elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. R es transitiva si x , y ,z , (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R

28. Propiedad transitiva • Ejemplo • Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A2 son transitivas R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

30. Ejercicio • Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las siguientes relaciones • R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}. • R2 = {(1, 1)}. • R3 = {(1, 2)}. • R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

31. Ejercicio • Sea A = {2, 3, 4, 5, 6} R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3} • Escribir por extensión a R.

32. Relación de equivalencia • Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto

33. Ejemplo de Relación de Equivalencia • Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"} • R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo. • R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x". • R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".

34. Ejemplo de Relación de Equivalencia • Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"} • Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará formada por sus compatriotas. • El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto formado por todas las clases de equivalencias. • H/R es una partición de H.

35. Ejercicio • ¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia? • R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre}, donde S = {a / a es cualquier persona} • S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el mismo resto al ser divididos por 2.