Hva er en egenvektor?

1. Hva er en egenvektor? Av Tobias Dahl, Post.Doc Ifi/UiO

2. ”Standard matematisk utgangspunkt” • Hva er en egenverdi? • Rot av et karakteristisk polynom, • Egenvektoren ”hører til egenverdien”,

3. Alternative definisjoner • ”En vektor som ikke skifter retning, men kanskje lengde, når den multipliseres med matrisen den hører til” • Første egenvektor løser max-problem for symmetrisk, reell matrise,

4. Egenvektor nr. 2,3,… løser max-problem i henhold til ortognalitetsbegrensninger, • Siste egenvektor løser min-problem,

5. Lineære linkningssystemer…

6. Hva er en determinant? • Skole-definisjon: • Mer informativt: ”Determinant = Volum” • Determinant = 0 => degenerert, 0-volum. Brukes i Mobil-nettverk for å måle kapasitet

7. ”Egenvektorer – de som diagonaliserer” • Spektral-dekomposisjon: • For symmetrisk A: V ortogonal og,

8. Diagonalisering: • Attraktiv egenskap • Variabelskift: Gjør avhengige variabler uavhengige.

9. Ellipse->Sirkel X= XV XVD-1

10. Eksempel: Generalisert egenverdi-problem.

11. Visualisering av egenvektorer: PCA v2 v1 xi X V D VT XT = X Empirisk kovarians

12. Harmoniske svingninger – egenfrekvenser. Tocama Narrow Bridge Disaster, 1940

13. Ikke-symmetriske matriser. • Generelt vanskeligere • Komplekse egenverdier • Ikke-ortogonale egenvektorer. • ”Spinning” • Deflasjon / ”ghost eigenvalues”

14. ”Storebror til egenverdi-dekomposisjonen:” Singulær-verdi-dekomposisjon • Sjelden i begynnerbøker (unntak: Gilbert Strang) • Ofte brukt til rang-estimering (kondisjonstall) • Signalbehandling: Signal-støy-rom • PCA kan gjøres vha. SVD • Diagonalisering av ikke-symmetriske matriser

15. (SVD fortsatt) • Finnes for alle matriser, • Singulærvektorer er også egenvektorer, • For symmetrisk matrise: EVD = SVD • Diagonaliserer A:

16. Egenskaper • Singulærvektorene ”forklarer mest varians” i henholdsvis søyle og kolonne-rom • godt egnet for kompresjon. • Minimerer et kvadratisk avstandsmål • Stabile • Tidlige komponenter mest ”glatte” (Hastie: PDA)

17. Prinsipal-komponent-analyse. • Kjemometri: Ladninger (”mest representative kurve”) • Eigenfaces (”Mest representative fjesendringer”) • Underromsmetoder/datareduksjon

18. Eksempel:”Discrimination Models and Variance Stabilizing Transformations of Metabolomic NMR Data”, Institute on Research and Statistics, Sacramento, Parul Vora Purohit Scores Plot Loadings plot

19. Eksempel: ”Vibrational spectroscopic investigation of Australiancotton cellulose fibres”, Yongliang Liu, Serge Kokot* and Tryphone J. Sambi, Centre for Instrumental and Development Chemistry, School of Physical Science, QueenslandUniversity of Technology, Sentrering + PCA

20. Eigenfaces,Eksempe fra:CDSST CONSORTIUM FOR THE DEVELOPMENT OF SPECIALIZED SEISMIC TECHNIQUES Faces… Basis Faces for Face-space

21. Beregning av egenvektorer/sing.vektorer • Power-metode (bruk i BIMA, Mobil-kommuikasjon) • NIPALS • Lancoz • Ritz • Konjugerte gradienter • Krylow-rom

22. Andre anvendelser av SVD • Optimale rotasjoner (Procrustes) • Polar-dekomposisjon • Eksempel: ”Statistical Shape Analysis”, Dryden & Marida

23. Utvidelser • Funksjonsrom (Silverman & Ramsay) • Ikke-lineære egenfunksjoner • PCA Finner ”ukorrelerte” retninger, • ICA finnes ”uavhengige retninger” = ikke-lineær PCA • Tre-veis-analyse (PARAFAC, Tucker) • GSVD – Diagonalisering av to matriser.