Chapter 5 Aberrations

Chapter 5Aberrations

在近軸近似下，物體的影像是完美的，即所有從單一物點發射出的光線，均會匯集至同一點，且光學系統的放大率是常數。但對真實的光學系統而言，非近軸光亦會對成像有影響，因此產生所謂的aberration像差。在近軸近似下，物體的影像是完美的，即所有從單一物點發射出的光線，均會匯集至同一點，且光學系統的放大率是常數。但對真實的光學系統而言，非近軸光亦會對成像有影響，因此產生所謂的aberration像差。對一圓柱對稱的系統，在單一波長的光下，主要的像差可分為五種因素，分別是spherical aberration球面像差(球差)，coma慧形像差(慧差)，astigmatism像散，curvature of field像面彎曲(場曲)，以及distortion畸變。這些統稱Seidal aberration。又稱為monochromatic aberration單色像差。當光源包含許多波長，由於物質折射率與波長有關，因此會產生chromatic aberration色差。

Chromatic Aberration 薄透鏡的焦距滿足因此當折射率n因波長而改變n，焦距之變化為若藍光與紅光的折射率分別為nb與nr其色差為

The Achromatic Doublet 消色差對 考慮一組薄透鏡，由不同材質所做成，兩者緊密相接。令nb、ny、nr分別為第一個透鏡對藍、黃、紅三種光線的折射率；nb’、ny’、nr’為第二個透鏡對藍、黃、紅三種光線的折射率。若fb與fb’ 為此二透鏡對藍光的焦距，Fb為此二透鏡組合之焦距，有此處f與 f’為黃光區域之焦距，

同理， 若此透鏡組合對藍光與紅光有相同焦距，則有  與 ` 稱為dispersion power色散率。由於兩者均為正數，因此 f 與 f `需異號。又若 = ` 則 f =  f `，組合之焦距為無窮大，因此一消色差對必須由不同材質構成。

Example 5.1 一消色差對焦距為20 cm，由硼玻璃之凸透鏡與燧石玻璃之凹透鏡所組成。假設nb = 1.52264、nr = 1.51462、 nb’ = 1.62901與 nr’ = 1.61216，請計算兩透鏡之焦距分別為何。

f f´ t The Separated Achromatic Doublet 若此透鏡組合無色差，則有

若此二透鏡由相同材質所製成，則有 此即所謂Huygens` eyepiece

Spherical Aberrations 當光束平行於軸入射透鏡時，離軸越遠的光，在軸上的匯聚點，離近軸焦點FP 越遠，此稱為球面像差。由透鏡邊緣入射之光匯聚點稱為邊緣焦點FM。 longitudinal spherical aberration 縱向球差 lateral spherical aberration 橫向球差 circle of least confusion 明晰圈

n1 M n2  h   z Q P O –z0 –z1 z = 0 對一柱狀對稱光學系統，若物點在系統的軸上，成像只需考慮球差。(慧差、像散等均為離軸像差) 考慮如圖之折射平面，在z = 0處分開兩不同折射率的介質，假設n2 > n1。若P 為物點，考慮一光束PM入射折射面於高度h處，折射後光束看來如同自Q點發射。倘若P、Q的位置分別為z0、z1，由Snell`s law 又

此即近軸近似之結果 當h 0 考慮下一階的近似，在|h/z0| << 1下此即(折射平面之)縱向球差

Normal n1 n2(>n1) C A B –R –z0 對如圖之單一球形折射面之球面像差為 z = 0，無球面像差，此即消球像差點。 ※當

對一組平行於軸的光束，可證明一曲面半徑分別為R1與R2之薄透鏡，若透鏡折射率為n，其球差係數對一組平行於軸的光束，可證明一曲面半徑分別為R1與R2之薄透鏡，若透鏡折射率為n，其球差係數當光束入射透鏡處與距離光軸為h，其橫向球差縱向球差

0.10 Coma 1.0 –2.0 0 –1.0 2.0 q –0.10 A Spherical aberration –0.20 δ1 δ δ1 δ2 δ –0.30 δ2 B C

f1 A 1 B h2 h1 2 A  C1 C2 C D x f1– x h Q P 1 2 v (–u) L1 L2 因此，由兩分開距離x的薄透鏡組，要達成最小球差的條件為兩透鏡偏向角，1 = 2 考慮光線經過一透鏡產生的偏向角，由上圖有因此最小球差的條件可轉為 x= f1 f2 因為AC1D與BC2D為相似三角形，有

對Huygens eyepiece要求 且 x= f1 f2 f1= 3f2 ， x= 2f2

Coma 軸上的物點只存在球差，對離軸的物點，像差的來源還有coma、astigmatism、curvature of field及distorsion。當近軸處與透鏡邊緣的放大率不同，若考慮一組光線照射到距透鏡中心 h 處的區域，相距 2h 的兩道光會在像平面上聚於一點，而不同對的光聚焦於像平面上一個圓形上不同的點。此區域的半徑增加，像平面上的圓中心會更偏離理想的像，形成類似慧星的圖案，因此稱為 coma 慧差。

0.10 Coma 1.0 –2.0 0 –1.0 2.0 q –0.10 Spherical aberration –0.20 –0.30 對一道平行光與透鏡之軸成角入射，形成之慧差可證明如下：可證明，當q = 0.8，coma為零

astigmatism and Curvature of Field 當光學系統在沒有球差及慧差的情形下，軸附近的物點成像縱然可很清晰，但遠離軸的物點仍會受像散的影響。考慮遠離軸一點 P，當光學系統中只有像散像差時，成像如圖。其中 P 點與軸構成一平面，稱為子午面 meridional plane，另一含軸但與子午面垂直之平面稱為弧矢面 sagittal plane。由圖可觀察到，在子午面上的光線與弧矢面的光線收斂至不同點。如光束 PA 與 PB 聚焦於 T，光束 PC、PD 聚焦於 S。在 T 點，在弧矢面上的光尚未聚焦，會形成一垂直子午面之聚焦線，稱為 tangential focal line。同理在S處會形成在子午面之焦線，稱為 sagittal focal line。像散即以 S 與 T 的距離來量度。

當物點離軸越遠，S 與 T 的距離越遠，且兩者均落於弧形曲面上，如右圖所示。因此即使光學系統能使兩曲面重疊，使像散消除，但像平面仍為曲面而非平面，此即像面彎曲。

Distortion 考慮一針孔置於一光學系統之軸上，由於物發出之光只有一道可經過針孔而成像，因此成像不會產生球差、慧差、像散等像差。考慮上圖中物點A、B、C、D為等間隔，分別成像於A`、B`、C`、D`。若系統的放大率並非均勻，則像點會間距不一，即成像產生扭曲。

一般可將柱狀對稱系統之畸變表示如下 其中(x0, y0)，(Xd, Yd)分別為像點與物點之座標，M為放大率，E為畸變係數。

Fig. 5.5 The spherical aberration of a convex lens (photograph courtesy Dr. K.K. Gupta).

n1 P(x,y) Q n2 B A F O Fig. 5.8 For Example 5.3.

Fig. 5.14 A perfectly spherical wave (converging on the plane PP’ ) will produce an Airy pattern in the image plane.

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