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尤拉數. 第七組 組員 : 陳彥邦 陳妍 伶 辜紹 恩 廖容德. 笑話. 在一家精神病院裡,有個病患整天對著別人說,「我微分你我微分你」,也不知為什麼,這些病患都有一點簡單的微積分概念,總以為有一天自己會像一般多項式函數般,被微分到變成零而消失,因此對他避之唯恐不及,然而某天他卻遇上了一個始終不為所動的人,他很意外地問他為何不會害怕,這個人淡淡地對他說,「我是 e 的 x 次方。」. 介紹.

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Presentation Transcript
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尤拉數

第七組

組員: 陳彥邦

陳妍伶

辜紹恩

廖容德

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笑話
  • 在一家精神病院裡,有個病患整天對著別人說,「我微分你我微分你」,也不知為什麼,這些病患都有一點簡單的微積分概念,總以為有一天自己會像一般多項式函數般,被微分到變成零而消失,因此對他避之唯恐不及,然而某天他卻遇上了一個始終不為所動的人,他很意外地問他為何不會害怕,這個人淡淡地對他說,「我是e的x次方。」
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介紹
  • e,作為數學常數,是自然對數函數的底數。有時稱它為歐拉數(Euler's number),以瑞士數學家歐拉命名;也有個較鮮見的名字納皮爾常數,以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它的數值約是(小數點後20位):
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歷史
  • 由威廉·奧特雷德製作
  • 第一次把e看為常數的是雅各布·伯努利
  • 1727年歐拉開始用來表示這常數
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定義
  • 1. 定義e爲下列極限值:
  • 2. 定義e爲下列無窮級數之和:
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定義
  • 3. 定義e爲唯一的正數x使得
  • 4. 定義e爲唯一的實數x使得
  • 這些定義可證明是等價的
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性質
  • 很多增長或衰減過程都可用指數函數模擬。指數函數的重要性,在於它是唯一的函數(零多項式函數除外)與自身導數相等
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尤拉公式—(1)
  • e是無理數和超越數。這是第一個獲證為超越數的數,而非故意構造的;由夏爾·埃爾米特於1873年證明。有人猜想它為正規數。它出現在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式中:
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尤拉公式—(2)
  • 另外,當時函數有最大值。
  • e的無窮連分數展開式有個有趣的模式,可以表示如下:
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無理數證明
  • 反證法: https://www.youtube.com/watch?v=UDJGUA-bEDE
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額外補充
  • 在一片空曠的草地上,有甲、乙、丙、丁、四隻狗,分別站立在一個正方形的四個頂點 A、B、C、D上。狗主人要甲狗緊盯著乙狗、乙狗緊盯著丙狗、丙狗緊盯著丁狗、丁狗緊盯著甲狗。一聲令下,四隻狗以相同的速度,同時衝向目標。假定每隻狗在每個時刻,都是正面朝向它的目標,那麼,這四隻狗所跑過的路徑是什麼形式呢?
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等角螺線
  • 等角螺線有著驚人的美妙相似性質,大自然中許許多多的生物身上,都顯示等角螺線的存在,鸚鵡螺的截面線條、鳳梨、向日葵的螺旋紋,都是這種形式。另一方面,等角螺線在數學上,也有許多神奇的性質,如右圖中,做一過P點的切線截y軸於T點,則從O點沿著螺線到P點的距離恰好等於PT的距離,這是由伽利略(Galileo Galilei)的學生托里切利 (Torricelli) 證明出來。
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等角螺線
  • 另一方面,有個經常被誤認為是拋物線的曲線,也跟e分不開來,它被稱為懸鏈線,源自開始大量使用極座標研究螺線的Jakob Bernoulli提出來的問題:「把一條細繩掛在兩定點上,讓他自由懸垂下來,求:這細繩會構成怎樣的曲線。」這個曲線的基本形式是( ex+ ex ) / 2,同時,它也是相同條件下位能最小的曲線。當然,這個答案在當時不是這個樣子的,因為要等到尤拉 (Euler) 來為自然對數命名。