尤拉數

尤拉數 第七組組員: 陳彥邦陳妍伶辜紹恩廖容德

笑話 • 在一家精神病院裡，有個病患整天對著別人說，「我微分你我微分你」，也不知為什麼，這些病患都有一點簡單的微積分概念，總以為有一天自己會像一般多項式函數般，被微分到變成零而消失，因此對他避之唯恐不及，然而某天他卻遇上了一個始終不為所動的人，他很意外地問他為何不會害怕，這個人淡淡地對他說，「我是e的x次方。」

介紹 • e，作為數學常數，是自然對數函數的底數。有時稱它為歐拉數（Euler's number），以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它的數值約是（小數點後20位）：

歷史 • 由威廉·奧特雷德製作 • 第一次把e看為常數的是雅各布·伯努利 • 1727年歐拉開始用來表示這常數

定義 • 1. 定義e爲下列極限值： • 2. 定義e爲下列無窮級數之和：

定義 • 3. 定義e爲唯一的正數x使得 • 4. 定義e爲唯一的實數x使得 • 這些定義可證明是等價的

性質 • 很多增長或衰減過程都可用指數函數模擬。指數函數的重要性，在於它是唯一的函數（零多項式函數除外）與自身導數相等

尤拉公式—(1) • e是無理數和超越數。這是第一個獲證為超越數的數，而非故意構造的；由夏爾·埃爾米特於1873年證明。有人猜想它為正規數。它出現在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式中：

尤拉公式—(2) • 另外，當時函數有最大值。 • e的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下：

無理數證明 • 反證法: https://www.youtube.com/watch?v=UDJGUA-bEDE

額外補充 • 在一片空曠的草地上，有甲、乙、丙、丁、四隻狗，分別站立在一個正方形的四個頂點 A、B、C、D上。狗主人要甲狗緊盯著乙狗、乙狗緊盯著丙狗、丙狗緊盯著丁狗、丁狗緊盯著甲狗。一聲令下，四隻狗以相同的速度，同時衝向目標。假定每隻狗在每個時刻，都是正面朝向它的目標，那麼，這四隻狗所跑過的路徑是什麼形式呢？

答案是等角螺線，如果用極座標表示，等角螺線的基本形式就是r = aeθcotθ

等角螺線 • 等角螺線有著驚人的美妙相似性質，大自然中許許多多的生物身上，都顯示等角螺線的存在，鸚鵡螺的截面線條、鳳梨、向日葵的螺旋紋，都是這種形式。另一方面，等角螺線在數學上，也有許多神奇的性質，如右圖中，做一過P點的切線截y軸於T點，則從O點沿著螺線到P點的距離恰好等於PT的距離，這是由伽利略(Galileo Galilei)的學生托里切利 (Torricelli) 證明出來。

等角螺線 • 另一方面，有個經常被誤認為是拋物線的曲線，也跟e分不開來，它被稱為懸鏈線，源自開始大量使用極座標研究螺線的Jakob Bernoulli提出來的問題：「把一條細繩掛在兩定點上，讓他自由懸垂下來，求：這細繩會構成怎樣的曲線。」這個曲線的基本形式是( ex+ ex ) / 2，同時，它也是相同條件下位能最小的曲線。當然，這個答案在當時不是這個樣子的，因為要等到尤拉 (Euler) 來為自然對數命名。

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