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三角形相似

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三角形相似 - PowerPoint PPT Presentation


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三角形相似. 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练. 要点、考点聚焦. 1.本课时的重点是相似三角形的判定和性质. 2.相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的三角形. 3.相似三角形的判定定理及其推论 判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似. 判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似 判定定理4:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 推论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似.

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Presentation Transcript
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三角形相似
  • 要点、考点聚焦
  • 课前热身
  • 典型例题解析
  • 课时训练
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要点、考点聚焦

1.本课时的重点是相似三角形的判定和性质.

2.相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的三角形.

3.相似三角形的判定定理及其推论

判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似.

判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.

判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似

判定定理4:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

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推论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形

和原三角形相似.

4.相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

(3)相似三角形周长的比等于相似比.

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1.下列命题正确的是( )

A.所有的直角三角形都相似

B.所有的等腰三角形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似

D.以上结论都不正确

图6-1-1

  • 课前热身

C

2.如图6-2-1所示,在Rt ABCD中,G是BC延长线上一点,AG与BD交于点E,与DC交于点F,则图中相似三角形共有( )

A.3对 B.4对

C.5对 D.6对

C

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3.若如图6-2-2所示,△ABC∽△ADB,那么下列关系成立的是( )

4.△ABC中,AC=6,BC=4,CA=9,△ABC∽△A′B′C′,△A′B′C′最短为12,则它的最长边的长度为( )

A.16 B.18 C.27 D.24

A.∠ADB=∠ACBB.∠ADB=∠ABC

C.∠CDB=∠CABD.∠ABD=∠BDC

图6-2-2

B

C

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5.已知,如图6-2-3所示的,△ABC中,AD⊥BC于D,下列条件:①∠B+∠DAC=90°②∠B=∠DAC③CDAD=ACAB④AB2=BC·BC能得到∠BAC=90°的有( )

A.0个 B.1个

C.2个 D.3个

图6-2-3

C

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【解析】这道题乍一看,认为同底,只要知道高之比,就知道面积之比,故选B,其实不然,只要过AP量一次,连接AP并延长交BC于D,DP与AD的比就等于△PBC与△ABC的面积比,理由是:分别过A、P作BC的垂线段,根据两三角形相似的性质知:DPAD=PEAF.所以正确的答案是C.
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【例2】(2003.江苏无锡市)已知,如图6-2-5所示的四边形ABCD为菱形,AF⊥BC于F,

(1)求证:AD2=DE·DB.

(2)过点E作EG⊥AF交AB于点G,若线段BE,DE(BE<DE)的长是方程x2-3mx+2m2=0(m>0)的两个根,且菱形ABCD的面积为63,求EG的长.

图6-2-5

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【解析】(1)证等积式,首先想到化成比例式,但式子有12,应想到菱形的性质:对角线互相垂直平分,故连接AC交BD于O点,即BD=2DO,所以AD2=DE·DO

找三角形相似,即要证△ADE与△AOD相似,而∠EAD=90°

AO⊥BD,所以△ADE∽△OAD.

2)解方程DE=2m,BE=m,由AD∥BC

=m

由AD2= DE·BD AD= m

AE

EF= m AF= m

S菱ABCD=AF·BC=32m·BC=63=32m·3m

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m=2,m=-2<0(舍)

GE⊥AF GF∥BC

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【例3】如图6-2-6中的(1)是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的,过点A丹1的直线分别与BC丹1,BE交于点M、N,且图(1)被直线MN分成面积相等的上、下两部分.

(1)求 的值.(2)求MB、NB的长.

(3)将图6-2-6(1)沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒(如图6-2-6(2)所示)后,求点M、N间的距离.

图6-2-6(1)

图6-2-6(2)

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【解析】(1)∵△A1B1M≌△NBN,且A1B1=BB1=1

∴MB+NB=MB·NB,即

(2)∵分成的两部分面积相等得MB·NB=,即

MB·NB=5 MB+NB=5,因此可以构造一元二次

方程x2-5x+5=0,且MB<NB.

∴MB= ,NB=

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,EN=4-

-1=

(3)由(2)已知B1M=

=

∵图6-2-6(2)中的BN与图6-2-6(1)中的EN相等.

∴BN=B1M,

即四边形BB1MN是矩形.∴MN=1.

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【例4】如图6-2-7所示,梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,

MN∥AB,AB=6,BC=4,CD=3,设DM=x.

(1)设MN=y,用x的代数式表示y.

(2)设梯形MNCD的面积为S,用x

的代数式表示S.

(3)若梯形MNCD的面积S等于梯

形ABCD的面积的13,求DM.

图6-2-7

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【解析】(1)常用的辅助线是作梯形的高,过D作DE⊥AB于E点交MN于F,MN=MF+FN=MF+3,在Rt△DAE中,AD=

=5,由MN∥AB

x+3.

(2)MN∥AB

.

∴S=

(DC+MN)·DF=

x(0<x<5)

x2+

(3)S梯ABCD=

(3+6)×4=18

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∴S梯MNCD=

×18=6=

x

x2+

,x2=-5-5

x1=-5+5

<0(舍去).

即DM=-5+5 .

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方法小结:

1.常用辅助线构造基本图形,如“A”型,“X”型等.

2.证等积式常常先化成比例式,找相似三角形或中

间比.

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一、课堂反馈

1.如图6-2-8所示,在△ABC中,若∠AED=∠B,DE=6,AB=10,AE=8,则C的长为( )

A.154 B.7

C.152 D.245

  • 课时训练

C

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3.(多项选择)如图6-2-9所示,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,AE⊥EF,则

下列结论正确的是

A.∠BAE=30° B.CE2=AB·CF

D.△ABE∽△AEF

C.CF=

CD

图6-2-9

2.已知D、E两点分别在△ABC的边AB,AC上,DE∥BC,且△ADE的周长与△ABC的周长之长为3∶7,则AD∶DB=

3∶4

B?D?

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5.如图6-2-11,ABCD中,G是BC延长线上一点,且CG=

BC,则

=( )

A.127 B.32

C.107 D.27

图6-2-11

A

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6.如图6-2-12所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=3,DE∥BC,设AE=x,四边形BDEC的面积为y,则y可表示成x的函数,其图像的形状是( )

A.开口向上的抛物线的一部分

B.开口向下的抛物线的一部分

C.线段(不包括两个端点)

D.双曲线的一部分

图6-2-12

B

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