მოდელირება კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებებით

1. ივანე ჯავახიშვილის სახელობის თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტი მოდელირება კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებებით ზუსტ და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა ფაკულტეტი ც.ტეფნაძე თ.სოლოღაშვილი ბ.ჩქოფოია გ.ძამაშვილი გ.ძოწენიძე ნ.ჭანკვეტაძე პროექტის ხელმძღვანელები: სრული პროფესორი: რამაზ ბოჭორიშვილი ასისტენტ პროფესორი: თინათინ დავითაშვილი თბილისი 2013

2. დუფორტ-ფრანკელის სქემა შესაბამის შაბლონს აქვს სახე: სქემა უპირობოდ მდგრადია. აპროქსიმაციის რიგია: სრული აპროქსირებისათვის აუცილებელია შესრულდეს: ანუ;

3. არაცხადის სქემის ამოხსნის მეთოდები ნაბიჯიI: x-მიმართულებით არცხადი y-მიმართულებით ცხადი ნაბიჯიII: x-მიმართულებით ცხადი y-მიმართულებით არაცხადი n • Peaceman-Rachford-ის ალგორითმი

4. Peaceman-Rachford-ის ალგორითმი • ნაბიჯიI • ნაბიჯი II

5. მოცემული გამოსახულება ტოლფასია: • სადაც არის (m-1)x(m-1) განზომილებიანი მატრიცა. ხოლო: ; ;

6. სითბოგამტარობის ამოცანის ორგანზომილებიანი არაცხადი სქემის ამოხსნა Peaceman-Rachford-ის ალგორითმის მეშვეობით

7. ბიჯიI ბიჯიII ილუსტრაცია Y-მიმართულებით ცხადი X-მიმართულებით არაცხადი n n … … 2 2 j = 1 j = 1 i = 1 2 … m 1 2 … m

8. სქემის მდგრადობა () სქემის მდგრადობა ვაჩვენოთ ჰარმონიკების მეთოდის გამოყენებით: შემოვიღოთ აღნიშვნები: ; ჩავსვათ თავდაპირველ განტოლებაში ; (1) ; (2)

9. შევკვეცოთ (1) განტოლება -ზე,ხოლო მეორე -ზე, (3) (4)გავითვალისწინოთ,რომგვექნება:;;ასევე მივიღებთ:;;

10. შემოვიტანოთ აღნიშვნა და მიღებული გამოსახულებიდან გამოვსახოთ:, რადაგანაც სქემა იქნება უპირობოდ მდგრადი.აპროქსიმაციის რიგისქემის აპროქსიმაციის ზრდის რიგია ;მეთოდის ამოხსნისას ვიღებთ სამდიაგონალურ მატრიცას რომლის გადაჭრის გზაცაა გადადენის მეთოდი ან თომასის ალგორითმი

11. დავსვათ ამოცანა:გადავჭრათ ამოცანა ADI მეთოდით,როდესაც ბადეს წარმოადგენს::

12. ვიზუალიზაცია: T=0 T=0.2

13. არაცხადი სქმის ამოხსნის მეთოდი (ADi) მეთოდი მდგომარეობ შემდეგში: (1) ფორმულიდან არაცხადი სქემით x ცვლადის მიმართ ვიპოვით ,შემდეგ ბიჯზე კი (2) ფორმულიდან არაცხადი სქემით y ცვლადის მიმართ ვიპოვით , შესაბამის შაბლონს აქვს სახე: მისი აპროქსიმაციის ზრდის რიგი არის ;

14. ვიზუალიზაცია:

15. ცენტრალური სხვაობები:დიფუზიის განტოლების ამოხსნისას ცხადი სქემით,განტოლებაში შემავალი კერძო წარმოებულები შევცვალოთ ცენტრალური სხვაობით:ანუ სქემა მიიღებს შემდეგ სახეს: ;მარცხენა სხვაობების დროს სქემა აპროქსიმაციის ზრდის რიგი იყო 0(),ცენტრალური სხვაობების დროს კი 0();სქემა პირობით მდგრადია:<

16. სურათზე ხელოვნურად ქმნიან ხმაურს,შეაქვთ შეშფოთებები,რომელთა გაწმენდა შესაძლებელია რამდენიმე მეთოდით,ისინი არ იყენებენ კერძოწარმოებულიან დიფერენციალურ განტოლებებს თუმცა საინტერესოა შედეგების შედარების მხრივ ხმაურის გასაწმენდად გამოიყენება არაწრფივი ფილტრაციის შემდეგი მეთოდები: • არითმეტიკული საშუალო • გეომეტრიული საშუალო • ჰარმონიული საშუალო • კონტრჰარმონიული საშუალო • მედიანის ფილტრი • Alpha trimmed საშუალო ფილტრი

17. მედიანის ფილტრი: არითმეტიკული საშუალო გეომეტრიული საშუალო

18. ჰარმონიული და კონტრჰარმონიული ფილტრები ჰარმონიული საშუალო კონტრჰარმონიული საშუალო mn = ამოღებული ფანჯრის ზომები Q = 0, დავდივართ არითმეტიკულ საშუალოზე Q = -1, დავდივართ ჰარმონიულ საშუალოზე.

19. Alpha-Trimmed საშუალო ფილტრო • შეგვიძლია წავშალოთ ყველაზე დაბალიდა ყველაზე მაღალი d/2სიმაღლის პიქსელი • ასე რომ gr(s, t)წარმოადგენს დარჩენილmn – dპიქსელს

20. როგორ მუშაობს მედიანის ფილტრი მედიანის ფილტრი კარგია იმპულსის გასაქრობად,ხმაურის იზოლაციისათვის მედიანა დალაგებული ზრდის მიხედვით: 37, 38, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 234 მაგალითად:

21. საზღვრებზე პიქსელები 0 0 0 ……………………….0 ან 0 0 0 ……………………….0

22. ორიგინალ სურათზე ვამატებთ ეგრეთწოდებულ ხმაურს,კერძოდ გაუსის ხმაურს.გაუსის ფილტრი მოიცემა ფორმულით:

23. ფანჯრის გადატანის მაგალითი ორიგინალი 3x3

24. ფანჯრის გადატანის მაგალითი ორიგინალი 3x3

25. ფანჯრის გადატანის მაგალითი ორიგინალი 3x3

26. ფანჯრის გადატანის მაგალითი ორიგინალი 3x3

27. ფანჯრის გადატანის მაგალითი ორიგინალი 3x3

28. ფანჯრის გადატანის მაგალითი ორიგინალი 3x3

29. ფანჯრის გადატანის მაგალითი ორიგინალი 3x3

30. ორიგინალი სურათიდან აღებულია 25 % ორიგინალი სურათიდან აღებულია 60 %

31. მედიანის ფილტრით დამუშავებული:აღებულია 25% მედიანის ფილტრით დამუშავებული:აღებულია 60%

32. არითმეტიკული საშუალოთი დამუშავებული,აღებულია 25% არითმეტიკული საშუალოთი დამუშავებული,აღებულია 60%

33. ჰარმონიული საშუალოთი დამუშავებული:აღებულია 25% ჰარმონიული საშუალოთი დამუშავებული:აღებულია 60%

34. კონტრჰარმონიული საშუალოთი დამუშავებული:აღებულია 25% კონტრჰარმონიული საშუალოთი დამუშავებული:აღებულია 60%

35. Alpha trimmed საშუალოთი დამუშავებული:აღებულია 25% Alpha trimmed საშუალოთი დამუშავებული:აღებულია 60%

36. გეომეტრიული საშუალოთი დამუშავებული:აღებულია 25% გეომეტრიულისაშუალოთი დამუშავებული:აღებულია 60%

37. გამოყენებული ლიტერატურა: • http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/NumMethoden/WS0910/ScriptPDE/Heat.pdf • http://www.cems.uvm.edu/~tlakoba/math337/notes_15.pdf • http://en.wikipedia.org/wiki/Crank%E2%80%93Nicolson_method • http://www.youtube.com/watch?v=iUs5znCjcqs • http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_direction_implicit_method • http://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear_filter • http://pluto.huji.ac.il/~pchiga/teaching/Filtering/filtering-v0.1.pdf • http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_noise