计算方法

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第1章求解线性代数方程组的直接法 • 求解线性代数方程组的方法有很多，一般可分为两类：直接法和迭代法。 • 直接法：指的是如果所有计算都是精确进行的，那么经过有限步算术运算就可以求出方程组准确解的方法； • 迭代法：是用某种无限迭代过程去逐步逼近方程组的准确解。

现考虑一般n元线性代数方程组 • 其矩阵形式为： • 这里是n阶系数矩阵，是解向量， • 是右端向量。今后总假设A是实矩阵， • b是实向量。

克拉默（Cramer）法则是一种不实用的直接法。在本章中，我们研究一些有效地求解方程组（*）的直接法。这里，所谓“有效”，主要指算法的运算次数少，所用机器内存单元少，并且，近似解精确程度高。克拉默（Cramer）法则是一种不实用的直接法。在本章中，我们研究一些有效地求解方程组（*）的直接法。这里，所谓“有效”，主要指算法的运算次数少，所用机器内存单元少，并且，近似解精确程度高。

§1 高斯（Gauss）顺序消去法 • §2 矩阵分解法 • §3 两类特殊矩阵的矩阵分解法 • §4 主元消去法 • §5 行列式与逆矩阵的计算 • §6 向量范数与矩阵范数 • §7 基本误差估计

§1 高斯（Gauss）顺序消去法 • 1.1方法的原理 • 为了清楚起见,先看一个简单的例子。 • 例 1.1用高斯消去法求解三元线性代数方程组

首先，消去后两个方程中的x1得 再消去最后一个方程的x2得消元结束,经过回代得解:

现在来讨论用高斯顺序消去法求解一般n元方程组（*）的情形。现在来讨论用高斯顺序消去法求解一般n元方程组（*）的情形。顺序向前消元约化与回代过程

为了最后得到解，我们执行向后回代。假如最后一个约化主元 ，从方程组（1.7）的最后一个方程开始，逐步回代便可以求出原方程得解：

从前面讨论看出，高斯消去法包含两个过程：向前消元约化和向后回代。并且，当且仅当顺序的约化主元 均不为零时，才可以用这个方法求解方程组（1.4）。

舒尔（Schur）补

计算中间结果的存贮 • 在以上消去法计算过程中，要多次应用乘数lik (i>k) ,因而在计算机解题时有必要将中间结果存贮起来以备调用。应该怎样合理安排存贮单元以便节省机器内存呢？我们来分析一下消元约化过程中各种数量出现的先后次序以及对以后计算的影响。

定理1.3 可以用高斯顺序消去法求解方程组（1.4）的充分必要条件是它的系数矩阵A的各阶顺序主子式均不为零。 • 高斯顺序消去法实现的条件

1.2 高斯顺序消去法的算法 • 所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序进行的运算（包括算数运算，输入，输出等）的一个序列。 • 本书中，我们用接近于现代高级算法语言的一种非正式语言INFL来描述算法。现以高斯顺序消去法的INFL描述为例说明一下有关规则。

顺序消去法的算法

顺序消去算法的计算量 • 通常把一个算法中四则运算的次数作为度量该算法的计算量大小的标准。 • 下面考虑求解(1.4)的高斯消元法的计算量。 • 消元过程需要除法次数：

需要的乘法和加减法的次数都是 • 加上回代过程的运算次数，共需乘、除法的次数为 • 共需加、减法的次数为

当n较大时, ,消元过程的运算量远大于回代过程，从而，高斯消元法中乘除法的次数与加减法的次数近似为 .

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