Istituto Statale di Istruzione Secondaria Pier Luigi Nervi Lentini Prof. Leonardo Brunetto

1. Istituto Statale di Istruzione Secondaria Pier Luigi Nervi Lentini Prof. Leonardo Brunetto Lavoro realizzato da: Almirante Salvatore Castiglia Giuseppe Spina Andrea

2. Teoremi • Teorema di Pitagora • Teorema di Euclide

3. Teorema di Pitagora

4. Teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo. Quello che modernamente conosciamo come teorema di Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto ai babilonesi, ed era conosciuto anche in Cina e forse in India. La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.

5. La somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti è equivalente all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.

6. Dimostrazione algebrica • Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione: • o, in alternativa, risolvendolo per c: • Da cui si ricavano i rispettivi cateti: • e • Se la terna a,b,c è costituita da numeri interi essa si chiama terna pitagorica. • Inversamente, ogni triangolo in cui i tre lati verificano questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare negli Elementi immediatamente dopo il teorema di Pitagora stesso.

7. Dimostrazione grafica Molte sono le “dimostrazioni grafiche” del teorema di Pitagora. Spesso sono un felice connubio tra geometria e arte. Alcune sono molto efficaci per “vedere” intuitivamente il teorema. • Dimostrazione antica • Dimostrazione di Bhaskara • Dimostrazione di Leonardo da Vinci • Dimostrazione di Airy • Dimostrazione di Perigal • Dimostrazione di Dekker • Dimostrazione di Floor van Lamoen Ma vediamo quella più tradizionale…

8. Dimostrazione tradizionale: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti Siano ACDE e CBFG i quadrati, rispettivamente del cateto AC e del cateto CB; il punto M la proiezione del punto C sull’ipotenusa. Condotta la perpendicolare CM dal vertice C all’ipotenusa AB, si prolunghi fino ad incontrare in M il lato NL del quadrato costruito sull’ipotenusa. Il segmento HM divide il quadrato ANLB in due rettangoli ANMH, HMLB, che per il primo Teorema di Euclide che dice che in ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo dell’ipotenusa e della proiezione del cateto sulla ipotenusa; sono rispettivamente equivalenti ai due quadrati ACDE, CBFG. E poiché la somma dei due triangoli dà il quadrato dell’ipotenusa, resta dimostrato che il quadrato dell’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti.

9. Dimostrazione antica E’ forse la dimostrazione più conosciuta. Il quadrato grande può essere formato o dal quadrato costruito sull’ipotenusa e da quattro triangoli rettangoli uguali o dai due quadrati costruiti sui cateti e da quattro triangoli rettangoli uguali.

10. Dimostrazione di Bhaskara Questa bellissima dimostrazione è di Bhaskara (1114 - 1185), grande matematico e astronomo indiano.

11. Dimostrazione di Leonardo da Vinci La dimostrazione di Leonardo è geniale. Le due figure sono divise dalle diagonali verticali in parti uguali.

12. Dimostrazione di Airy E’ probabilmente la più elegante dimostrazione. Traslando i triangoli rettangoli superiori, come indicato dalle frecce, dal quadrato costruito sull’ipotenusa si ottengono i quadrati costruiti sui cateti. Sembra (da “Il giardino di Archimede”) che questa dimostrazione sia stata ideata da G. B. Airy, astronomo dell’osservatorio di Greenwich dal 1836 al 1881, intorno al 1855. Nella parte centrale della figura Airy scrisse la poesia: I am, as you may see, a2 + b2 – ab. When two triangles on me stand, Square of hypothenuse is plann’d; But if I stand on them instead, The squares of both sides are read.

13. Dimostrazione di Perigal Fu proposta nel 1873 da Henry Perigal, agente di cambio inglese. Il punto A è il centro del quadrato.

14. Dimostrazione di Dekker Fu pubblicata nel 1888 dallo scrittore olandese Edward Douwes Dekker con lo pseudonimo di Multatuli.

15. Dimostrazione di Floor van Lamoen Questa elegante dimostrazione è di Floor van Lamoen, brillante matematico (e atleta) olandese.

16. Pitagora Pitagora nacque a Samo nel 572 a.C. La storia di Pitagora è avvolta nel mistero, di lui sappiamo pochissimo e la maggior parte delle testimonianze che lo riguardano sono di epoca più tarda. Alcuni autori antichi o suoi contemporanei come Senofane, Eraclito ed Erodoto ci danno testimonianze tali da far pensare alla effettiva esistenza storica di Pitagora pur se inserita nella tradizione leggendaria. Secondo queste fonti Pitagora nacque nell'isola di Samo nella prima metà del VI secolo a.C. dove fu scolaro di Ferecide e Anassimandro subendone l'influenza nel suo pensiero. Da Samo Pitagora si trasferì nella Magna Grecia dove fondò a Crotone, all'incirca nel 530 a.C., la sua scuola. Dei suoi presunti viaggi in Egitto e a Babilonia, narrati dalla tradizione dossografica, non vi sono fonti certe e sono ritenuti, almeno in parte, leggendari. Sulla sua morte i resoconti dei biografi non coincidono: essendo scoppiata una rivolta dei democratici contro il partito aristocratico pitagorico, la casa dove si erano riuniti gli esponenti più importanti della setta fu incendiata. Si salvarono solo Archippo e Liside che si rifugiò a Tebe. Secondo una versione, Pitagora prima della sommossa si era già ritirato nel Metaponto dove era morto. Secondo altri invece era casualmente assente alla riunione nella casa incendiata e quindi riuscì a salvarsi fuggendo prima a Locri, quindi a Taranto e da lì a Metaponto dove morì nel 495 a.C.

17. Teorema di Euclide

18. Teoremi di Euclide • Il primo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare: • mediante l'equiestensione tra figure: • In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa. • mediante relazioni tra segmenti: • In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa. • Le due enunciazioni sono equivalenti.

19. Il secondo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al primo, dalla proposizione 8 del VI libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare: • mediante l'equiestensione tra figure: • In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa. • mediante relazioni tra segmenti: • In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa. • Le due enunciazioni sono equivalenti

20. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa. (Primo teorema) In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. (Secondo teorema)

21. Euclide Della vita di Euclide (circa 365-300 a. C.) la sola notizia certa è che insegnò geometria ad Alessandria d'Egitto, dove fondò una scuola di matematica. Euclide è il più importante matematico dell'antichità, conosciuto soprattutto per il suo trattato di geometria, gli Elementi (in greco Stocheia). E' composto da 13 libri concernenti la geometria piana, le proporzioni, la teoria dei numeri, le grandezze incommensurabili e la geometria solida. In quest'opera viene proposta una riorganizzazione in forma deduttiva delle conoscenze geometriche dell'epoca che divenne il fulcro dell'insegnamento della matematica per duemila anni e il modello di strutturazione logica di ogni branca del sapere scientifico. Gli Elementi si aprono con la definizione di teoremi, assiomi e postulati. Gli assiomi e i postulati sono indicati da Euclide come affermazioni di partenza da cui far discendere tutte le altre con un procedimento dimostrativo. Mentre gli assiomi indicano verità "evidenti" di carattere logico, i postulati hanno, invece, carattere geometrico. Tra i postulati il quinto, detto "postulato delle parallele", ha dato origine a molte controversie sulla possibilità o meno di ricavarlo come teorema a partire dagli altri quattro. A Euclide sono stati attribuiti anche i Dati, raccolta di teoremi in 95 proposizioni; i Fenomeni, una descrizione geometrica delle sfere celesti; l'Ottica, un trattato di ottica geometrica.

22. Fine... Salvatore Almirante Giuseppe Castiglia Andrea Spina