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Ch06 利率衍生产品 —— 利率期权

Ch06 利率衍生产品 —— 利率期权. 概要. 基本概念 影响期权价值的因素 期权定价模型 ——Black’s models 二项式模型 顶、底、互换选择权的定价 利率模型 可转换债券. 基本概念. 定义 嵌入期权的金融工具 期权的盈亏. 定义. 期权：选择权，可以这样做也可以那样做的权利。 买入期权（ Call Option ），期权购买者可以按照事先约定的价格购买一定数量证券的权利。 卖出期权 （ Put Option ），期权购买者可以按照事先约定的价格卖出一定数量证券的权利。

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Ch06 利率衍生产品 —— 利率期权

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Presentation Transcript

  1. Ch06 利率衍生产品 ——利率期权

  2. 概要 • 基本概念 • 影响期权价值的因素 • 期权定价模型——Black’s models • 二项式模型 • 顶、底、互换选择权的定价 • 利率模型 • 可转换债券

  3. 基本概念 • 定义 • 嵌入期权的金融工具 • 期权的盈亏

  4. 定义 • 期权：选择权，可以这样做也可以那样做的权利。 • 买入期权（Call Option），期权购买者可以按照事先约定的价格购买一定数量证券的权利。 • 卖出期权（Put Option ），期权购买者可以按照事先约定的价格卖出一定数量证券的权利。 • 美式期权（American option）， 在到期前的任何时刻都可以执行的期权。 • 欧式期权（European option ），只有在到期时才能执行的期权。

  5. 定义 • In-the-money • Out-of-the money • At-the-money • Strike price：exercise price

  6. 嵌入期权的金融工具 • 可回购债券（callable bonds） • 可回卖债券（puttable bonds） • 可提前偿还的住房贷款（prepayable mortgages） • 顶（caps）, 箍（collars）, 底（ floors） • 期货期权（options on futures） (e.g., Eurodollars and Treasury notes) • 互换期权（swaptions）

  7. 期权的盈亏 • profit profit • Long a call Short a call

  8. 期权的盈亏 • profit profit • Long a put Short a put

  9. 影响期权价值的因素

  10. 期权定价模型 ——Black’s models • Black－Scholes

  11. 例 Black-Scholes 模型的问题 • 给欧式 call option 定价：3年零息债券，施权价格$110, 面值 $100 • 结论很明显，应该是0. • 但在下面假设情况下， r = 10% ， 4% 的年价格波动率，用Black-Scholes 模型计算出来的价格为7.78!

  12. 应用传统 Black-Scholes Model给债券定价的问题

  13. 价格波动率：股票与债券 • 股票 • 债券 • 时间

  14. Black's Model • 尽管存在着以上问题，Black-Scholes 的变形，叫做Black’s Model, 也还经常被使用，条件是: • a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。 • b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数正态分布。 • 例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期时，就可以利用Black’s Model

  15. 利用Black’s Model给欧式期权定价

  16. 利用Black‘s Model给欧式期权定价 • T = 期权到期日 • F = 到期日为T，价值为V的远期价格 • K = 执行价格 • r = T期的即期收益率 (连续利率) • σ = F的波动率 • N = 累积正态分布 • Pc = value of call • Pp = value of put

  17. 例 : 应用 Black's Model • 给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 的，面值 $1,000, 半年利息 $50 (在3个月后和9个月后得到)? • 已知 • 今天债券价格 $960 (包括应计利息) • 执行价格 $1,000 • 3个月的无风险利率为 9% ，9个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风险利率为10% (以年为基础，连续利率) • 债券价格的波动率为年9%

  18. 例 : 应用 Black's Model • 求解 • 第一步: 找到远期价格 • 计算期权价格的参数为:F = 939.68, X=1000, r=0.1, σ=0.09, T = 10/12=.8333.

  19. 例 : 应用 Black's Model

  20. 二项式模型 • 可回购债券的价值 =不可回购债券价值 -Call Option 的价值 • 可回卖债券的价值 =不可回卖债券价值 + Put Option的价值 • 回购债券定价策略: • 利用利率模型给不可回购债券定价 • 利用利率模型给嵌入的call option定价.

  21. 二项式模型 • 利用已知的二项式模型定价 • 附息债券 • 基于附息债券的欧式期权 • 基于附息债券的美式期权

  22. 例 • 有如下的二项式树图，该树图可以用来给无风险债券以及债券期权定价（利率上升下降的概率都是50%。 ruu=6.757% ru=4.976% rud=5.532% r0=3.5% rd=4.074% rdd=4.530%

  23. 例 • Price option-free bonds . • 例如 票面利率5.25%（年支付），期限3年的债券 V=100 C=5.25 V=98.588 C=5.25 ruu=6.757% V=99.461 C=5.25 rU=4.976% V=100 C=5.25 V=102.075 C=0 r0=3.5% V=99.732 C=5.25 rud=5.532% V=100 C=5.25 V=101.333 C=5.25 rd=4.074% V=100.689 C=5.25 rdd=4.53% V=100 C=5.25

  24. 例 • Pricing a European Call Option: 假定票面利率 5.25%的债券是可回购的，回购日为2年末，回购价格为 $99.50. Vcall=0.383, Vbond=101.692 Vcall=0 ruu=6.757% Vcall=0.11 ru=4.976% Vcall=0.383 r0=3.5% Vcall=0.232 rud=5.532% Vcall=0.683 rd=4.074% Vcall=1.189 rdd=4.53%

  25. 例 • Pricing a American Call Option: 在1年后和2年后都可以回购，价格都是 $99.50. Vcall=0.938, Vbond=101.137 Vcall=0 ruu=6.757% Vcall=max(0.11, 0) ru=4.976% Vcall=0.938 r0=3.5% Vcall=0.232 rud=5.532% Vcall=max(0.683, 1.833) rd=4.074% Vcall=1.189 rdd=4.53%

  26. 顶、底、互换选择权的定价 • 顶与底 • 互换选择权

  27. 顶与底 • 利率的顶是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最高利率水平。 • 利率的底是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最低利率水平。 • 顶和底可以： • 脱离贷款本身，可以通过单独交易来获得。 • 与证券相连，其价格体现在了证券的利率当中。

  28. 顶与底 • 一个顶可以被理解为关于浮动利率R的一串call options。 • 一个底可以被理解为关于浮动利率R的一串put options。 • 顶和底被分离出来的部分被称为 “caplets”, “floorlets” • 顶的盈亏 = 本金 × 期限 × max[Rt - Rk, 0] • Rt = t 期的利率 • Rk = cap rate • 注意是你购买了顶，给你带来的利益，而不是实际支付的利率！

  29. 例 : 给Cap定价 • Cap rate 5.2%, 名义数量:$10,000,000, 支付频率:年 • 利率变化 ruuu=9.1987% ruu=7.0053% ru=5.4289% ruud=7.5312% rud=5.7354% r0=3.5% rd=4.4448% rudd=6.1660% rdd=4.6958% rddd=5.0483%

  30. 例 : Value of the year 1 caplet • 22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%) • 11,058=0.5(22,890+0)/1.035 22,890 ru=5.4289% 11,058 r0=3.5% 0 rd=4.4448%

  31. 例 : Value of the year 2 caplet 180,530 ruu=7.0053% 111,008 ru=5.4289% 66,009 r0=3.5% 53,540 rud=5.7354% 25,631 rd=4.4448% 0 rdd=4.6958%

  32. 例 : Value of the year 3 caplet 399,870 ruuu=9.1987% 295,775 ruu=7.0053% 214,217 ru=5.4289% 233,120 ruud=7.5312% 155,918 rud=5.7354% 150,214 r0=3.5% 96,726 rd=4.4448% 96,600 rudd=6.1660% 46,134 rdd=4.6958% 0 rddd=5.0483%

  33. 例 :Value of Cap • Value of cap • = value of caplet 1+ value of caplet 2 + value of caplet • =11,058+66,009+150,214 • =227,281

  34. 例 : 给 Floor定价 • Floor rate 4.8%, 名义金额:$10,000,000, 支付频率:年 • 利率变化如下 ruuu=9.1987% ruu=7.0053% ru=5.4289% ruud=7.5312% rud=5.7354% r0=3.5% rd=4.4448% rudd=6.1660% rdd=4.6958% rddd=5.0483%

  35. 例 : Value of the year 1 floorlet • 35,520=10,000,000(4.8%-4.4448%) • 17,159=0.5(35,520+0)/1.035 0 ru=5.4289% 17,159 r0=3.5% 35,520 rd=4.4448%

  36. 例 : Value of the year 2 floorlet 0 ruu=7.0053% 0 ru=5.4289% 2,410 r0=3.5% 0 rud=5.7354% 4,988 rd=4.4448% 10,420 rdd=4.6958%

  37. 例 : Value of the year 3 floorlet 0 ruuu=9.1987% 0 ruu=7.0053% 0 ru=5.4289% 0 ruud=7.5312% 0 rud=5.7354% 0 r0=3.5% 0 rd=4.4448% 0 rudd=6.1660% 0 rdd=4.6958% 0 rddd=5.0483%

  38. 例 :Value of Floor • Value of floor • = value of floorlet 1+ value of floorlet 2 + value of floorlet • =17,159+2,410+0 • =19,569

  39. 互换选择权（Swaptions） • 例 ：有下面互换：名义本金$1000 ，期限3年。固定利率支付方每年支付10.1% , 他拥有选择权，使他随时可以终结互换。我们的目的是要确定这一互换选择权的价值。 • 假定在0时点利率为10%。利率上升与下降的概率各为50%。利率路径如下：

  40. 例 : Swaptions ruu=12% ru=11% rud=10% r0=10% rd=9% rdd=8%

  41. 例: Swaptions • 如果理解为本金也相互交换，对于分析该问题，也许更为方便。由于收和付的金额是相等的，这不会影响期权的价值。

  42. 例 : Swaptions • 在Time 2: 市场利率分别为 12%, 10%, or 8%. • 如果是12%, • 固定利率最后支付额的现值=$1101/1.12 = $983.04(YOU) • 浮动利率最后支付额的现值=$1120/1.12 = $1000.00 • 不执行！因此，期权的价值为 $0.

  43. 例 : Swaptions • 如果是 10%, • 固定利率最后支付额的现值=$1101/1.10 = $1000.91(YOU) • 浮动利率最后支付额的现值=$1100/1.10 = $1000.00 • 执行的价值为 $0.91, 所以，期权的价值为$0.91.

  44. 例 : Swaptions • 如果是 8%, • 固定利率最后支付额的现值=$1101/1.08 = $1019.44(YOU) • 浮动利率最后支付额的现值=$1080/1.08 = $1000.00 • 执行的价值为 $19.44, 所以，$19.44.

  45. 例 : Swaptions • 在 Time 1: 市场利率分别为11% or at 9%. • 如果是 11%, • 剩下的固定利率支付额的现值= 101/1.11 + 0.5(1101/1.1 +1101/1.12)/1.11 = $984.66(YOU) • 浮动利率支付的现值=110/1.11+1000(1+r2)/[(1.11)(1+r2)] = $1000. • 不执行 ! • 另外，你仍然有选择权，该选择权也许在下一期带来价值。 • 期权的现值为: [.5(0)+.5(.91)]/1.11 = $.41

  46. 例 : Swaptions • 如果是9%, • 剩下的固定利率支付额的现值=101/1.09 + .5(1101/1.08 +1101/1.1)/1.09 = $1019.35 • 浮动利率支付的现值= 1090/1.09 = $1000. • 执行的价值为 $19.43. • 等待的价值也许超过执行的价值. • = [.5(19.43) + .5(.91)]/1.09 = $9.33. • 结论: 立即执行! • 价值 =$19.35

  47. 例 : Swaptions • 在Time 0: 利率为 10%,剩下的固定利率支付额的现值=1002.77 1101 983.04 101 ruu=12% 984.66 101 ru=11% 1101 1002.77 r0=10% 1000.91 101 rud=10% 1019.43 101 rd=9% 1101 1019.44 101 rdd=8% 1101

  48. 例: Swaptions • 浮动利率支付的现值= 1100/1.1 = $1000. • 立即执行的价值为 $2.76. • 但是,也许等待的价值更高. 不执行则期权的价值为: [.5(.41)+.5(19.35)]/1.1 = $8.98. • 在 time 0，期权的价值为 $8.98。我们终于找到了它！

  49. 利率模型 • 杈树模型概述 • 简单加减式模型（Simple Additive Model） • 简单乘除式模型（Simple Multiplicative Model） • 波动率（Volatility） • 从短期利率得到长期利率 • Ho-Lee Model • Salomon Brother Model • B.D.T Model • Vasicek Model

  50. 简单杈树模型概述 • 核心是得到单期利率（短期利率）的演变过程 • 从短期利率可以导出到期收益曲线，通过假定投资者的行为（风险中性）可以得到长期利率 • 选择和确定阶梯的高度（ Step size ）以及概率分布。 • 普通的杈树模型为二项式模型（binomial ）和三项式模型（ trinomial）

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