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例析化归思想 在数学解题中的应用 王亚红
给你一个煤气灶、一个水龙头、一个空水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？于是回答：把空水壶放到水龙头底下，打开水龙头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，打开煤气灶，把一满壶水烧开。那如果给你一个煤气灶、一个水龙头、一个已装了半壶水的水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？他说，物理学家这时会回答，把装了半壶水的壶放到水龙头底下，打开水龙头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，打开煤气灶，把一满壶水烧开。但是数学家的回答是：把装了半壶水的水壶倒空，就化归为刚才已解决的问题了。
（一） 的应用 （1）一条线段AG上有B、C、D、E、F五个点，你能说出图中共有几条线段吗？ （2）一条线段上共有n个点，你能说出这n个点 构成几条线段吗？答案是：
（二）一个易被学生遗忘的几何原型 （1） 在梯形ABCD中，AD∥BC ，E、F分别为对角线DB、AC的中点。求证：EF= (BC-AD)
(2)AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交，AE ⊥CD, BF⊥CD,垂足分别为E、F，若AB=10,CD=8, 求: BF-AE的值。 分析：与弦有关的题目添加辅 助线首先考虑作弦心距OP， 由平行线等分线段定理得 PE=PF，这样就得到前面提到的原型图AEBF ，求出OP，则 BF-AE=2OP D F P A B O E C
(1)、小河边有两个村庄Ａ、Ｂ．要在河边建一自来水厂向Ａ村与Ｂ村供水。若要使水厂到Ａ、Ｂ村的水管最省料，应建在什么地方？
(2)、四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是_____________。(2)、四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是_____________。 分析：本题可理解为在直线BD的同旁有点E、C,在BD上求一点P,使P到E、C距离和最小。即“两点一线”问题。 在图中C关于BD的对 称点即点 A,所以连接 AE,AE与BD的交点 即为点P,此时PE＋PC=AE, 由两点之间线段最短 ，知此为 最小值。
（3）、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为_____________。 分析：本题可理解为在直线MN的同旁有点D、C,在MN上求一点P,使P到D、C距离和最小。即“两点一线”问题。在图中D关于MN的对称点即点A,所以连接 AC,AC与MN的交点即为点P,此时PD＋PC=AC.
（4）、点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM＋PN的最小值是（ ） 分析：本题为在直线AC的同旁有点M、N,在AC上求一点P,使P到M、N距离和最小。即“两点一线”问题。作M关于AC的对称点M1,连接M1N与 AC交点即为所求的点P M1N =PM＋PN的值。
⌒ AN （5）、MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN =30° ,B为 的中点，P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值是多少？ 分析：本题为在直线MN的同 旁有点A、B,在MN上求一点P, 使P到A、B距离和最小。即 “两点一线”问题。作A关于 MN的对称点A1,连接A1B与 MN交点即为所求的点P。 ∠BOA1= 90°,由勾股定理求出 A1B的值，即PA+PB。
(6) 已知，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-3,0),B(1,0), C(0, ),此抛物线的顶点为D。 （1）求此抛物线的解析式。 （2）在直线BC上是否存在一点P,使得△PAD的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 分析:由于AD值一定，若要 △PAD的周长最小,即PA+PD 和最小，又归结为在直线BC 的同旁有点A、D,在BC上求 一点P, 使P到A、D距离和 最小。即 “两点一线”问题。
（7）、在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD.（7）、在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD. • 求( 1) C、D两点的坐标。 • （2）经过A、B、D三点的抛物线解析式。 • （3）在（2）中的抛物 • 线的对称轴上取两点E、 • F（点E在点F的上方）， • 且EF=1，使四边形ACEF • 的周长最小， • 求出E、F两点的坐标。
分析：（3）只需求AF+CE最短 。抛物线的对称轴为x=1 , EF=1，将点A向上平移1个单位至A1(-2,1)，则AF=A1E，又归结为在直线EF的同旁有点A1、C,在对称轴上求一点 E, 使E到A1、C距离和最小。即 “两点一线”问题。作A1关于对称轴x=1的对称点A2 (4,1), 连结A2C，A2C与 对称轴交于点E， E为所求。
（1）两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，选定加油站的位置，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.（1）两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，选定加油站的位置，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短. 分析：两相交直线OA、OB，及一点P, 在OA、OB上各求一点, 使这两点与P组成 的三角形周长最小。即 “一点两线”问题。分别做 点P关于直线OA和OB的 对称点P1、P2，连结P1P2 分别交OA、OB于C、D， C、D两点就是所求满足条件的油库的位置。
(2)∠O=30° ，在角内空间任取一点P，令OP=10cm,若在角的两边上任取两点Q、R， • 求△PQR的最小周长。 分析：两相交直线，及一 点P,在两直线上各求一点, 使这两点与P组成的三角 形周长最小。即 “一点两 线”问题。分别做P关直 线的对称点P1、P2，连 结P1P2，分别交两线于 Q、R，线段P1P2的长度即△PQR的最小周长。由线段垂直平分线的性质易得△ P1OP2为边长是10cm的等边三角形， △PQR的最小周长= P1P2 = 10cm
（1）在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m,0）,当四边形ABCD的周长最短时，求m,n的值（1）在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m,0）,当四边形ABCD的周长最短时，求m,n的值 分析：即两相交直线，及两点 A、B,在两直线上各求一点, 使 这两点与A、B 组成的四边形周 长最小。即 “两点两线”问题。因 为A、B是定点且长度不变，只要 使其它的三条线段的和最小即可， 所以考虑用轴对称的方法将BC、 CD、AD这三条折线拉直。画点A关于x轴的对称点A1，点B关于y轴的对称点B1， A1B1与两轴交点即分别为点C、D，只要求出直线A1B1的函数解析式就可以求出点C和点D 的坐标。
（2）已知，抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,3),B(1,0), C(5, 0)。 求（1）此抛物线的解析式。 （2）若一动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某点E,再到达抛物线的对称轴上某点F，最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求这个最短总路径长。 分析：第二问即两相交直线（x轴及对称轴），及两点 A、M,在两直线上各求一点, 使总路径最短。即 “两点两线”问题。 所以考虑用轴对称的方法将ME、 EF、AF这 三条折线拉直。画点A关于对称轴的 对称点A1，点M关于x轴的对称点M1， A1M1与对称轴及x轴交点即分别为点 F、E.。只要求出直线A1M1的函数解析 式就可以求出点E和点F 的坐标。并 求这个最短总路径长。
总结： • 轴对称在数学解题中三种模式的运用 • 两点一线式：做其中一点关于这条直线的对称 点，连接所做对称点与另一点，与直线的交点即所求的点。 • 一点两线式：分别做这一点关于这两条直线的对称点，连接所做两个对称点，与这两条直线的交点即所求的点。 • 两点两线式：分别做这两点关于这两条直线的对称点，连接所做两个对称点，与这两条直线的交点即所求的点。
平移 平移 原型图 折叠 隐藏 • （三）双直三角形的应用
(1)四边形ABCD中，DC⊥BC，若AB=100，∠A=45°，∠ABD=75°，∠CBD=30°，(1)四边形ABCD中，DC⊥BC，若AB=100，∠A=45°，∠ABD=75°，∠CBD=30°， 求BC的长。 分析：此题含有两个三角形，其 中一个不是直角三角形， 可通过添加适当的辅助线 （一般不破坏已知的特殊角） ，即过B用BE⊥AD，垂足为E，从而化“斜”为“直” ，由于△BCD≌△BED，将条件集中到Rt△ABE 中来解决，求出BE即BC长。
(2)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且CD=3AD，求tan∠DBC的值。(2)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且CD=3AD，求tan∠DBC的值。 分析：要求的∠DBC在斜三角形中， 而tan∠DBC的值不能从给定的直角 三角形中的到，故需将其转化到直 角三角形中，作辅助线DE⊥BC，构造Rt△DBE来求tan∠DBC的值。 在条件中没有给出有关线段的长度，于是将已知条件中的CD=3AD中的AD用参数k来表示，并对其是“设而不求”，这是一种常用的方法，这样让字母来参与运算，应用方便。
(3)、初二•一班学生为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30’ 。已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC。（精确到0.1米） 分析：解题的关键是依据题 意，通过作垂线构造两个直 角三角形，设两直角三角形 的公共边DH=x米，利用三角 函数及方程将有关数据有机的联系起来。
(4)、如图，一斜坡的倾斜角为15°，坡上有一棵树AB，当阳光与水平线成45°角照射时，树影BC在斜坡上的长为7.80米，求树高（精确到0.01米）(4)、如图，一斜坡的倾斜角为15°，坡上有一棵树AB，当阳光与水平线成45°角照射时，树影BC在斜坡上的长为7.80米，求树高（精确到0.01米） 分析:作辅助线，即过点B作 BH⊥AC，把△ABC“分割”成双 直角三角形（Rt△CHB和 Rt△ABH），即利用公共直角边 HB沟通Rt△CHB和Rt△ABH之间 的联系，直接设未知数即可列出 方程求解
(5)今年入夏以来，松花江哈尔滨水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B点，又测得航标C在北偏东45°方向上，以航标为圆心，120米长为半径的圆形区域有浅滩，如果继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？(5)今年入夏以来，松花江哈尔滨水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B点，又测得航标C在北偏东45°方向上，以航标为圆心，120米长为半径的圆形区域有浅滩，如果继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？ 分析:通过作辅助线，即过点C作 CD⊥AB，交AB的延长线于D，把 △ABC“补成”双直角三角形 （Rt△CBD和Rt△CAD），利用公 共直角边CD来沟通Rt△CBD和 Rt△CAD的联系，直接设未知数列出方程， 即可得出解题思路．
(6)如图，为测量探空气球离地面的高度CD，两个测量人员在地面上相距100米的A、B两点（B、D在A的正东方向），测得仰角∠CAD=45°，∠CBD=60°(6)如图，为测量探空气球离地面的高度CD，两个测量人员在地面上相距100米的A、B两点（B、D在A的正东方向），测得仰角∠CAD=45°，∠CBD=60° • （1）试计算气球离地面的高度； • 分析：（1）通过公共直角边 CD把△ACD“折叠”成双直角三 角形（Rt△CAD和Rt△CBD）， 利用公共直角边CD沟通Rt△CAD 和Rt△CBD之间的联系，即可直 接设未知数列出方程，从而求出 解题结果．
（2）一股气流把气球向东吹去，20秒钟后到达C′处，重新测得气球离地面的高度不变，但从点A测得仰角度数为∠C′AD′=30°，试求气球飘移的速度．（2）一股气流把气球向东吹去，20秒钟后到达C′处，重新测得气球离地面的高度不变，但从点A测得仰角度数为∠C′AD′=30°，试求气球飘移的速度． 分析：（2）通过平移CD到C′D′ ，“回位” 成双直角三角形 Rt△CAD和Rt△C′AD′）， 利用相等的直角边CD，C′D′ 来沟通Rt△CAD和Rt△C ′ AD′ 之间的联系，求出CC′的长， 即可求解．
（7），如图是某型号飞机的机翼形状，其中AB∥CD，∠ACM=45°，∠BDN=30°，点B到EF的距离是3米，AB=2米，根据题中的数据，计算AC、BD和CD的长（结果保留根号）（7），如图是某型号飞机的机翼形状，其中AB∥CD，∠ACM=45°，∠BDN=30°，点B到EF的距离是3米，AB=2米，根据题中的数据，计算AC、BD和CD的长（结果保留根号） 分析：通过平移AC，作垂线， “回位”成双直角三角形 （Rt△DEB和Rt△BEF）， 通过公共直角边BE沟通Rt△DEB 和Rt△BEF的联系，利用解直角 三角形的知识，就能得出解答． M
（8）如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值．（8）如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值． 分析：此题的特征，在条件中 没有给出有关线段的长度， 又tan∠DBC的值不能从给定 直角三角形中得到，因此， 给解题带来了困难，但我们可以通过构造一个 直角三角形及构造方程可求得tan∠DBC的值． 此题同前面第二题。
总结： • 解“双直角三角形”问题的关键是：适当添加辅助线，灵活转化图形，运用“化斜为直”的数学思想构造双直角三角形，明确已知条件和所求问题是解直角三角形中的什么元素——角、边、线等等，用公共（或相等）的直角边沟通已知条件和未知元素之间的关系，设定未知数找出等量关系列出方程，就能使问题迎刃而解．
第一，弄清问题 • 未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？ • 要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者 是矛盾的？ • 画张图。引入适当的符号。 • 把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？
第二，拟定计划 • 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道可能用得上的定理？ • 看着未知数！想一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题。 • 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？ • 你能否重新叙述问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去！ • 如果你不能解决所提的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？ • 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？
第三，实行计划 • 你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？ • 实现你的求解计划，检验每一步骤。
第四，回顾 • 检查结果并检验其正确性。 • 换一个方法做这个题。 • 尝试把你的结果和方法用到其他问题上。
陈省身的话 • 做数学，要做得很熟练，要多做，要反复的做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了。灵感完全是苦功的结果， 要不灵感不会来。
华罗庚的话 妙算还从拙中来，愚公智叟两分开。积久方显愚公智， 发白始知智叟呆。埋头苦干是第一， 熟能生出百巧来。 勤能补拙是良训， 一分辛劳一分才。
熟能生巧的理论思考 • 熟能生巧， 是中国文化传统的组成部分，也是中国数学教育重要理念之一。 • 记忆通向理解 • 速度赢得效率 • 严谨形成理性 • 重复依靠变式 ———张奠宙
