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FUNDAMENTOS DO CÁLCULO Aluno: Reinaldo Ançay Junior ¹ Orientadora: Ximena Mujica Serdio ²

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FUNDAMENTOS DO CÁLCULO Aluno: Reinaldo Ançay Junior ¹ Orientadora: Ximena Mujica Serdio ² Departamento de Matemática ¹ [email protected] ² [email protected] Resumo

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FUNDAMENTOS DO CÁLCULO

Aluno: Reinaldo Ançay Junior ¹

Orientadora: Ximena MujicaSerdio ²

Departamento de Matemática

¹ [email protected] ² [email protected]

Resumo

Este trabalho versa sobre vários assuntos que fundamentam o estudo de resultados sobre funções reais. Iniciando com operações sobre conjuntos, relações binárias e seu uso para definir o conceito de função, o uso de funções para estudar a cardinalidade de conjuntos e, em particular, o uso de sequências para o estudo de conjuntos infinitos. Finalmente, no conjunto do reais, as consequências do axioma do supremo.

  • 1. Operações sobre conjuntos
  • Sejam e dois conjuntos:
  • Reunião: ;
  • Interseção: ;
  • Diferença: ;
  • Dizemos que é subconjunto de , e escrevemos , se para cada em , está em ; se e dizemos que é subconjunto próprio de .
  • 2. Relações binárias
  • Sejam e dois conjuntos não vazios, uma relação binária entre e , é um subconjunto de . Por exemplo se
  • e ,
  • algumas relações entre e são:
  • ,
  • ,,
  • , , ,
  • Se , dizemos que é uma relação em .
  • 2.1 Propriedades das relações binárias
  • Reflexiva:, para cada em;
  • Simétrica: Se então ;
  • Antissimétrica: Se e (, então ;
  • Transitiva: Se , , então ;
  • Se , , então .
  • Diremos que é uma relação de equivalência sobre um conjunto se satisfaz as propriedades transitiva, simétrica e reflexiva. Já uma relação de ordem sobre um conjunto é uma relação que satisfaz as propriedades transitiva, antissimétrica e pode ou não ser reflexiva. Dizemos que um conjunto é totalmenteordenadose existe uma relação de ordem definida sobre e para cada , têm-se ou . Dizemos que é uma função se satisfaz a propriedade v.
  • 3. Funções
  • No item 2.1 definimos função, mas a notação acima é pouco utilizada de modo que vamos redefini-la. Sejam e dois conjunto não vazios. Uma função de em é uma regra que associa a cada elemento um único elemento , denotado por . Algumas nomenclaturas são:
  • Domínio: o conjunto recebe o nome de domínio de e é denotado por ;
  • Contradomínio: o conjunto recebe o nome de contradomínio de e é denotado por ;
  • Imagem: a imagem de , denotada por ,define-se como o conjunto
  • Gráfico: o gráfico de é definido por:
  • ,
  • Note que corresponde à relação definida em 2.1. Uma notação usual para a dada função é
  • 3.1 Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas
  • Considere uma função . Dizemos que é uma função injetiva se, para quaisquer , .
  • A função é dita sobrejetiva se .
  • No caso de ser, ao mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva, diz-se que é uma função bijetiva.
  • 3.2 Imagem direta por uma função
  • A imagem direta de um conjunto pela função é definida por
  • 5.2 Conjuntos infinitos
  • Um conjunto é infinito quando não é vazio e não existe uma função bijetiva com .
  • 5.3 Conjuntos enumeráveis
  • Dizemos que um dado conjunto é enumerável se é equivalente ao conjunto ,isto é, se existe uma função bijetora .
  • 5.4 Conjuntos não enumeráveis
  • Suponha que determinado conjunto assume a seguinte propriedade: todo subconjunto enumerável de é subconjunto próprio de (). Neste caso, diz-se que é um conjunto não enumerável. Note que, isto equivale a não existir função bijetiva de em nem de em .
  • 6. Conjuntos limitados
  • Sejam um conjunto ordenado e com . Dizemos que é limitado superiormente se existe tal que . é chamado cota (ou limitante) superior. De forma análoga, dizemos que é limitado inferiormente se existe tal que . A chamamos de cota inferior.
  • Denomina-se como um conjunto limitado se possui limitantes superior e inferior.
  • 6.1 Mínimo, máximo, ínfimo e supremo
  • Seja . Dizemos que é um mínimo de se é uma cota inferior de e . Da mesma forma, dado um , diz-se que é um máximo de se for uma cota superior de e .
  • Denotam-se, respectivamente, o máximo e o mínimo de por e .O máximo e o mínimo de determinado conjunto, quando existem, são únicos.
  • Considere um elemento . é dito ínfimo de (denotado por ) se:
  • é cota inferior de ;
  • Se é cota inferior de , então, ( é a maior das cotas inferiores de ).
  • De forma análoga, é dito supremo de () se:
  • é cota superior de ;
  • Se é cota superior de , então, ( é a menor das cotas superiores de ).
  • Assim como no caso do máximo e mínimo, o supremo e o ínfimo, quando existem, são únicos.
  • 7. O axioma do supremo
  • Todo conjunto não vazio de , limitado superiormente, possui supremo.
  • 7.1 Consequências do axioma do supremo
  • não é limitado superiormente;
  • Propriedade de Arquimedes: se e são dois números reais quaisquer, então existe pelo menos um número natural tal que ;
  • Propriedade dos intervalos encaixantes: sejam intervalos fechados e limitados tais que , então
  • 8. Tópicos de estudo futuro
  • Como este projeto ainda está em andamento, estudaremos ainda o uso de sequências para estudar a continuidade de funções reais e também estudaremos alguns teoremas, como o teorema do confronto e o teorema do valor médio.
  • 9. Referências
  • 1. DOMINGUES, HyginoHugueros. Espaços Métricos e Introdução à Topologia. Atual Editora LTDA, 1982.
  • 2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo Volume 1. LTC Editora, 2001.
  • Sejam uma função, e conjuntos. A imagem direta assume as seguintes propriedades:
  • ;
  • Se é não vazio, também o é;
  • Se , então, ;
  • ;
  • .
  • 3.4 Imagem inversa por uma função
  • A imagem inversa de um conjunto pela função é definida por
  • Sejam uma função, e conjuntos. A imagem inversa assume as seguintes propriedades:
  • ;
  • Se , então, ;
  • ;
  • ;
  • .
  • 4. Os números reais
  • No conjunto dos números reais (denotado por ) estão definidas duas operações, adição () e multi-plicação () e uma relação de ordem ().
  • 4.1 Propriedades da adição e multiplicação
  • Nos reais, adição e a multiplicação, respectivamente, seguem as propriedades abaixo. Dados e :
  • Associatividade:
  • e
  • Comutatividade:
  • e
  • Distributiva:
  • Existência de elemento neutro:
  • e
  • Existência de elemento oposto / inverso:
  • e ,
  • Compatibilidade da ordem com as operações:
  • e
  • 4.2 O corpo ordenado dos reais
  • Admitiremos que a quádrupla é um corpo ordenado, isto é, satisfaz todas as propriedades descritas no item 4.1 e possui uma relação de ordem definida sobre si.
  • 5. Sequências numéricas
  • Uma sequência numérica é uma função , onde e é um conjunto numérico previamente definido.
  • 5.1 Conjuntos finitos
  • Um conjunto é finito se ou se existe uma função com (sequência) bijetiva. Note que as funções bijetivas definem uma relação de equivalência no conjunto de todos os conjuntos.
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