第 14 章相关分析与回归分析

第14章相关分析与回归分析 参考资源： http://218.192.12.13/kcpt/jkx.html

第14章相关分析与回归分析 • 本章教学任务： • 相关分析的数学指标－－协方差、相关系数 • 使用Excel的数学分析工具进行回归分析的方法

基本概念 • 函数关系与相关关系 • 函数关系：指客观现象之间确实存在的，且在数量上表现为确定性的相互依存关系。 • 相关关系：指客观现象之间确实存在的，但在数量上表现为不确定的相互依存关系。 • 区别与联系： • 区别：相关关系数量不确定，函数关系数量是确定的； • 联系：函数关系往往通过相关关系表现出来，相关关系的研究中常常使用函数关系的方式。

基本概念 • 相关关系的种类： • 按相关程度划分： • 完全相关： • 不完全相关： • 零相关：。 • 按相关的方向划分： • 正相关： • 负相关： • 按相关形式划分： • 线性相关： • 非线性相关： • 按变量多少划分： • 单相关： • 复（多）相关： • 偏相关。 • 按相关性质划分： • 真实相关： • 虚假相关：

基本概念 • 相关分析与回归分析 • 相关分析：用一个指标来表明现象间依存关系的密切程度。 • 回归分析：根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。 • 局限性：现象之间是否存在真实相关，必须由相关学科来确定，因此，相关与回归必须要在定性分析前提下进行，不能进行纯数量的计算。

基本概念 • 两者的联系： • 相关分析要依靠回归分析来表现现象数量相关的具体形式； • 回归分析必须依靠相关关系来表明变量之间的密切程度。 • 从广义上讲，回归分析就是相关分析，从狭义上讲，相关关系只需确定变量间的关系，而回归分析还要在此基础上找到数学模型。 • 两者的区别： • 相关分析不说明谁是自变量，谁是因变量，而回归分析必须首先要确定谁是自变量，谁是因变量，不能颠倒。 • 相关分析中的每一个变量都是随机的；回归分析中自变量是一般变量，因变量是随机变量。

相关分析 实践中进行相关分析要依次解决以下问题； • 确定现象之间有无相关关系以及相关关系的类型。 • 判定现象之间相关关系的密切程度， • 拟合回归方程， • 判断回归分析的可靠性 • 根据回归方程进行内插外推预测和控制。

协方差计算 • 设（X，Y）为二元随机变量，称数值 E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}为随机变量X与Y的协方差，记作Cov（X ,Y），即：

协方差计算 • Excel当中提供了协方差计算函数COVAR（array1，array2）。 • 功能：返回协方差，利用协方差可以决定两个数据集之间的关系。 • 语法：COVAR（array1，array2） • 参数：array1是进行求协方差运算的第一个单元格区域，array2是进行求协方差运算的第二个单元格区域。 • 我们可以使用【数据分析】菜单或者直接使用COVAR函数计算协方差。

协方差计算 • 【例14-1】2006年十个大城市的人均可支配收入与商品房成交均价的数据，试计算其协方差。

协方差计算

相关系数计算 • 相关分析是用相关系数ρ来表示两个变量间相互的直线关系，并判断其密切程度的统计方法。

相关系数计算 • 相关系数的性质 • |ρ|≤ 1 • 如果ρ> 0，则称随机变量X与Y之间存在正的线性相关关系。越接近于1，X与Y之间正的线性相关程度越强。 • 如果ρ= 1，则称随机变量X与Y之间存在正的线性函数关系； • 如果ρ= -1，则称随机变量X与Y之间存在负的线性相关关系； • 如果ρ= 0，则称随机变量X与Y之间不相关。

相关系数计算 • Excel当中提供了协方差计算函数CORREL（array1，array2） • 功能：返回单元格区域 array1 和 array2 之间的相关系数。使用相关系数可以确定两种属性之间的关系。 • 语法：CORREL（array1，array2） • 参数：array1是求相关系数运算的第一个单元格区域，array2是进行求求相关系数运算的第二个单元格区域。

协方差计算 • 【例14-2】2006年十个大城市的人均可支配收入与商品房成交均价的数据，试计算其相关系数。

协方差计算

相关系数计算 • 相关系数表明了两组数据之间的直线相关关系，我们借助Excel的图表功能来直观的反映其关系。

相关系数计算 • 执行菜单【插入】－【图表】命令，在【图表向导－4步骤之1－图表类型】中选择“XY散点图”，【子图表类型】选择第一个图表。 • 在【图表向导－4步骤之2－源数据】中，设置【数据区域】为“=Sheet1!$B$3:$C$12”，【系列产生在】为“列”。 • 在【图表向导－4步骤之3－图表选项】中，设置坐标轴的标题。 • 在【图表向导－4步骤之2－图表位置】中，选中“作为其中的对象插入”，在下拉列表中选择“Sheet1”。单击【完成】，插入图表。

回归分析 • 所谓回归分析法，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）

回归分析 • 相关分析研究变量间相关的程度和相关的方向；而回归分析不仅可以反映变量间影响的大小，还可进一步利用回归方程进行预测和控制。 • 相关分析不必确定哪个变量为因变量，哪个变量为自变量，各变量的地位是平等的；而回归分析则必须事先研究确定变量中哪个变量为因变量，处于被解释的特殊地位。 • 尽管相关分析和回归分析都可以研究随机变量与随机变量、随机变量与非随机变量之间的关系，但在通常的回归分析中，总是假定自变量为非随机的固定变量。

一元线性回归分析 • 一元线性回归是最简单和基本的回归分析，主要是寻找并确定两个变量之间的的线性关系。

一元线性回归分析 • 【例14-3】已知某公司随机抽样的10个销售地广告费用与销售额的数据，推测销售额y和广告投放额x之间存在某种线性关系：y=ax+b，请根据数据求出一元线性回归方程，预测当广告投放50万元时的销售额。

一元线性回归分析 • 依次单击【工具】→【数据分析】菜单项（若【数据分析】菜单项没出现在【工具】菜单中，则需进行加载。有关加载操作请参见例11-2），弹出【数据分析】对话框。

一元线性回归分析 • 打开【工具】－【数据分析】菜单，出现【数据分析】对话框，在列表中选择【回归】。单击【确定】。在【回归】对话框中输入图中参数。

一元线性回归分析 从图中数据得出广告费x与销售额y的关系是：（B33与B34单元格数据），根据此关系算出的x＝50时，y＝ 616.61。

多元线性回归分析 • 很多时候，我们研究的问题是受多个因素影响的，需要建立多元回归方程，进行多元回归分析，确定结果与多个变量之间的关系。

多元线性回归分析 • 【例14-4 】仍然是该公司随机抽样的10个销售地广告费用与销售额的数据，为了更加准确的判断广告投放效果，将广告费用细分为电视广告费和平面广告费，请根据此数据确定多元线性回归方程： y=β0+β1x1 +β2x2 其中y为销售额，x1为电视广告费，x2为平面广告费。

多元线性回归分析 • 打开【工具】－【数据分析】菜单，出现【数据分析】对话框，在列表中选择【回归】。单击【确定】。在【回归】对话框中输入图中参数。

多元线性回归分析 从图中数据得出广告费x与销售额y的关系是：（B31，B32，B30 ），从上式看出，电视广告费x1变动对y的影响要比平面广告费x2对y的影响显著，也就是说增加电视广告费可以更好地促进销售额的增长。

非线性回归 • 在许多实际问题中,回归函数往往是较复杂的非线性函数。主要有以下几种形式：

非线性回归 • 一般情况下，我们首先通过观察Excel生成的数据图表，大致判断变量之间的关系，然后将非线性方程转化成线性方程，再进行回归分析计算。需要指出的是，对于较复杂的系统，非线性回归分析需要应用多学科的综合知识，这里向大家介绍的是一个基本的，初步的方法。

非线性回归 • 【例14-5】已知有某公司的日生产产量与日耗电量的数据，推测两者之间存在某种关系，试确定其回归方程。

非线性回归 • 从生成的图表看，数据与多项式类型的趋势线吻合较好。因此推测其回归方程为二次多项式模型：其中x为坐标横轴，表示产量；y为坐标纵轴，表示耗电量。

非线性回归 • 在表中“产量”与“耗电量”之间加入一列“产量平方”，其值为产量的平方（因为Excel要求自变量必须相邻，因此“产量平方”必须与“产量”相邻）。这样，二次多项式转变成了二元线性

多元线性回归分析 • 打开【工具】－【数据分析】菜单，出现【数据分析】对话框，在列表中选择【回归】。单击【确定】。在【回归】对话框中输入图中参数。

非线性回归 计算数据得出耗电量y与产量x之间的回归方程是：（B31，B32，B33单元格数据）

非线性回归 • 其他类型的非线性回归都可以通过采用与本例类似的“图表观察－拟合趋势线－推断回归方程形式－转化成多元线性回归问题－使用【数据分析】工具－计算各项参数”的步骤完成。 • 另外，也可以在【添加趋势线】的步骤中，直接使用Excel来显示公式，具体操作在下一章——时间序列分析中的趋势预测法小节介绍。

第 14 章 相关分析与回归分析