kombinatorikk n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Kombinatorikk PowerPoint Presentation
Download Presentation
Kombinatorikk

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 20

Kombinatorikk - PowerPoint PPT Presentation


  • 268 Views
  • Uploaded on

Kombinatorikk. Gjenfinningssystemer og verktøy II. Jon Anjer. Hva er kombinatorikk?. Kombinatorikk går ut på å se på antall mulige kombinasjoner av visse elementer, for eksempel: Termer (eksempel: kombinere emneord i strenger) UDK-deler i ett klassesymbol (eksempel: hvor mange ordninger)

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Kombinatorikk' - ilithya


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
kombinatorikk

Kombinatorikk

Gjenfinningssystemer og verktøy II

Jon Anjer

hva er kombinatorikk
Hva er kombinatorikk?

Kombinatorikk går ut på å se på antall mulige kombinasjoner av visse elementer, for eksempel:

  • Termer (eksempel: kombinere emneord i strenger)
  • UDK-deler i ett klassesymbol (eksempel: hvor mange ordninger)
  • Dokumenter (eksempel: antall måter de kan ordnes på)
  • Lotto-tall (eksempel: hvor mange forskjellige resultater)
  • Poker-hender
grunnmengde populasjon og utvalg
Grunnmengde (populasjon) og utvalg

Kombinatorikken har som grunnlag:

  • En grunnmengde eller populasjon av enheter (kan være bøker, termer, lottokuler, personer osv.)
  • At man velger utvalg av disse enhetene. Ofte er forutsetningen at alle elementene har like stor sannsynlighet for å bli valgt
grunnlaget for kombinatorikk
Grunnlaget for kombinatorikk

Kombinatorikken gir oss svaret på hvor mange kombinasjoner av elementene i utvalget fra populasjonen som finnes.

Vi kan bruke de samme elementene flere ganger, f.eks. symbolet ”H” for hjemmekamp i en tipperekke, eller vi kan bare bruke dem én gang, f.eks. i en lottorekke.

I noen tilfeller har rekkefølgen noe å si, f.eks. emneord i strenger, i andre tilfeller er rekkefølgen likegyldig, f.eks. tallene i lottorekka.

kombinere valgmuligheter
Kombinere valgmuligheter

I mange tilfeller har vi forskjellige betingelser som skal kombineres, med et antall valgmuligheter for hver betingelse.

I UDK danner hovedtall og tilleggstall kombinasjoner. Dersom visse hovedtall kan kombineres med alle tilleggstall av en gitt type, er antall mulige kombinasjoner produktet mellom antallet av hver.

ordnede utvalg med tilbakelegging
Ordnede utvalg med tilbakelegging

Denne modellen går ut på at en trekker elementer fra populasjonen, og at alle elementene er med hver gang. Rekkefølgen har betydning

Antall tipperekker er et eksempel på bruk av denne modellen: Hver gang har man 3 muligheter, totalt

3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =312 = 531 441

Tilsvarende får vi nr ordende utvalg med tilbakelegging der vi trekker r ganger fra en populasjon med n elementer

permutasjoner
Permutasjoner

En permutasjon av en mengde elementer er en gitt rekkefølge av elementene. Kombinatorikken gir oss svar på hvor mange permutasjoner som finnes.

Eksempler:

  • Hvor mange måter kan fire termer ordnes på i en streng?
  • Hvor mange måter kan jeg ordne 100 bøker på hylla?
  • Hvor mange måter kan personene i busskøen stilles opp?
permutasjoner av kuler
Permutasjoner av kuler
  • Hvor mange måter kan 4 kuler ordnes på?
  • Som første kule: 4 mulige
  • For hver av disse: Som andre kule: 3 mulige, foreløpig 4 • 3 = 12
  • For hver av disse: Som tredje kule: 2 mulige, foreløpig 4 • 3 • 2 = 24
  • Siste kule: Bare én igjen, totalt 4 • 3 • 2 • 1 = 24
  • Til venstre: alle permutasjoner med blå kule først
antall permutasjoner av n elementer
Antall permutasjoner av n elementer

Helt generelt kan vi ordne n elementer på n! måter, der n! = for n • (n - 1) • (n - 2) • ... • 3 • 2 • 1

Vi leser ”n!” som ”n fakultet”

Mer abstrakt kan vi skrive n! som

Dette betyr: multipliser uttrykket bak  (stor Pi, gresk p) når 1 er satt inn med uttrykket når 2 er satt inn osv. helt til du kommer til n (dvs: alle tall f.o.m. 1 t.o.m. n)

Det leses: ”Produktet av i fra i er lik 1 til n”

antall permutasjoner av 20 elementer
Antall permutasjoner av 20 elementer

Funksjonen ”n fakultet” (n!, som angir antall permutasjoner) blir fort svært stort, for eksempel er antallet

  • for 5 elementer 120
  • for 10 elementer 3628800
  • for 15 elementer1307674368000
  • for 20 elementer 2432902008176640000
funksjonen fakultet i excel
Funksjonen fakultet i EXCEL

EXCEL har den matematiske funksjonen Fakultet, som gir antall permutasjoner.

Legg spesielt merke til at 0!=1

Til høyre: hjelp for Fakultet-funksjonen

ordnete utvalg uten tilbakelegging
Ordnete utvalg uten tilbakelegging

Permutasjoner er rekkefølger der alle elementene inngår. Vi kan også trekke et antall av elementene, og finne antall rekkefølger.

Eksempel: Vi har 12 kuler, hvor mange måter kan vi ordne 3 av disse?

Som første kule: 12 mulige

Neste: en av de 11 resterende (12-1)

Siste: en av de 10 resterende (12-2)

Svar: 12 • 11 • 10 = 1320

antall ordnete utvalg
Antall ordnete utvalg

Helt generelt: Vi har n elementer, og skal velge r elementer av disse.

  • Som første element har vi n mulige
  • Som neste kan vi velge mellom de (n-1) resterende
  • Deretter har vi (n-2) valgmuligheter
  • Når vi har valgt de r elementene, skal vi ha (n-r) igjen, slik at når vi velger den siste, må vi ha (n-r+1) elementer å velge mellom
  • Antall ordnete utvalg blir n ·(n - 1) ·... · (n - r + 1)

Dette kan skrives

funksjonen permuter i excel
Funksjonen Permuter i EXCEL

Funksjonen Permuter gir antall ordnede utvalg uten tilbakelegging

Denne funksjonen ligger under statistikk, med litt vanskelig forklaring:

Returnerer antallet permutasjoner for et gitt antall objekter som kan velges fra et antall objekter. En permutasjon er et hvilket som helst sett eller delsett av objekter eller hendelser der den interne rekkefølgen er viktig. Permutasjoner er forskjellig fra kombinasjoner som ikke tar hensyn til den interne rekkefølgen. Bruk denne funksjonen til sannsynlighetsberegninger av lotteritype.

ikke ordnete utvalg uten tilbakelegging
Ikke-ordnete utvalg uten tilbakelegging

Hvor mange ikke-ordnede utvalg blir det av de r elementene vi har hentet fra de n?

Vi vet at antall ordnede utvalg er:

Trekker vi et av disse, kan det ordnes på r! forskjellige måter

Det betyr at r! ordnede utvalg vil fremstå som samme ikke-ordnede utvalg

Vi kan dividere antall ordnede utvalg på r!, og får at antall ikke-ordnede utvalg blir

eget symbol n over r
Eget symbol: n over r

Det finnes eg eget symbol for uttrykket for antall ikke-ordnede utvalg, nemlig:

Dette leses ”n over r”

kombinasjoner i excel
Kombinasjoner i EXCEL

EXCEL har den matematiske funksjonen KOMBINASJON

Forklaring i EXCEL

Returnerer antall mulige kombinasjoner for et gitt antall objekter, uavhengig av rekkefølgen. Du kan bruke KOMBINASJON til å bestemme det totale mulige antall grupperinger for et gitt antall objekter.

Syntaks: KOMBINASJON(antall; valgt_antall)

Antall er antall objekter. Valgt_antall er antall objekter i hver kombinasjon.

regne ut n over r
Regne ut n over r

De enkelte delene i uttrykket blir svært store, men det er enkelt å forkorte!

Nedenfor er de tallene som forkortes bort uthevet

pascals trekant
Pascals trekant

Pascals trekant gir oss uttrykket i linje n+1

  • I første linje
  • Deretter: legg sammen tallene som står på skrå ovenfor