Б.Б. Крейсман

1. АКЦ Астрокосмический ЦентрФизического института им. П.Н. Лебедева РАН ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИТРЕХ ТЕЛ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО ТЕЛЕСКОПА Б.Б. Крейсман Казань, ВАК-2007, 21 сентября 2007

2. Миссия миллиметрон

3. миллиметрон

4. Требования к орбите В одном из вариантов проекта требуется регулярно эволюционирующая под воздействием Луны и Солнца орбита с апогеем более 1000 тыс. км и перигеем более 200 тыс. км. Вращение плоскости и линии апсид орбиты должны обеспечивать наилучшие условия наблюдения и заполнения UV-плоскости для большинства объектов небесной сферы, выполняться все ограничения по ориентации зеркала космического криогенного телескопа, радио и лазерной ТМ антенны. Наиболее предпочтительной является орбита, у которой линия апсид поворачивается за год на 360 градусов и апогей находится в основном в направлении, противоположном Солнцу.

5. Проблемы Наиболее естественным и успешным оказался поиск нужных орбит среди периодических решений ограниченной задачи трех тел системы Солнце – (Земля+Луна). Для этого разработаны методики: -построения семейств плоских периодических решений вокруг меньшего притягивающего тела или пары тел (Земля+Луна), -генерации семейств периодических решений трехмерной ограниченной задачи по полученным семействам периодических решений плоской задачи, -построения семейств периодических решений трехмерной ограниченной задачи -оценки пригодности получаемых решений для решения научных задач проекта.

6. Пространственная круговая ограниченная задача трех тел. Пусть две материальные точки с массами М1 и М2 движутся по круговым орбитам с угловой скоростью Ω под действием взаимного ньютонианского притяжения, а третье тело имеет пренебрежимо малую массу. Проще всего уравнения движения третьего тела выглядят во вращающейся (синодической) системе координат в безразмерной форме. Начало координат находится в барицентре притягивающих тел, ось X1 направлена от тела меньшей массы M2 к телу большей массы M1. Система вращается против часовой стрелки с угловой скоростью Ω вокруг оси X3; в качестве единицы времени берется 1/Ώ, единицы расстояния - расстояние между притягивающими телами, единицы массы – (M1+M2). В этой системе притягивающие тела неподвижны и имеют координаты (m2, 0, 0) и (-m1, 0, 0).

7. Уравнения движения

8. Уравнения в вариациях Пуанкаре Пусть известно некоторое решениеx(t)=x0(t), в окрестности которого функция Гамильтона H дважды дифференцируема. Рассмотрим возмущенное движение x(t)=x0(t)+y(t)). Подставляя его в уравнение (1), разлагая правые части в ряд Тейлора по y(t) и отбрасывая члены разложения степени выше первой, получаем уравнения возмущенного движения в первом приближении -уравнения в вариациях Пуанкаре. Они линейные, с зависящими от времени коэффициентами. Решение с начальными условиями y(0)=y0имеет видy(0)=Y(t)y0,где Y(t) – матрица размерности 6, матрициант. В случае периодичности решения с периодом T матрица M, M=Y(T), называется матрицей монодромии.

9. Характеристический многочлен Так какнет однозначных интегралов, отличных от интеграла энергии, то характеристический многочлен P матрицы монодромии M имеет вид: где a1 и a2 --- вещественные коэффициенты, регулярно изменяющиеся при движении по семейству периодических решений. Значения этих коэффициентов можно выразить через след матрицы M и след квадрата матрицы M. Если 4a2<a1a1+8, то P представим в виде:

10. Устойчивость Вещественные параметры s1 и s2 определяют устойчивость решения. Если они оба по модулю меньше единицы, торешение орбитально устойчиво. При движении по семейству периодических решений поворот любого из двумерных инвариантных подпространств может стать кратным 2π и возможна генерация новых семейств периодических решений второго рода в этих подпространствах. Если одна пара лежит на единичной окружности, вторая-- на вещественной прямой, решение "полунеустойчиво".

11. Матрица монодромии Можно рассматривать плоские орбиты как частный случай пространственных орбит и вычислятьматрицы монодромии М шестого порядка, которые состоят из клеток, соответствующих плоскому решению (первый, второй, четвертый и пятый столбец и такие же строки), и клеток, соответствующих третьей степени свободы (третий и шестой столбец и такие же строки). Параметр s1 соответствует плоскому решению, а s2 ­его вертикальному ответвлению, определяемому матрицей N,

12. Варианты Очевидно, s2=(n11+n22)/2. Для симметричных решенийn11=n22и s2=n11=n22. При вертикальной устойчивости |s2|<=1ивозможны 5 вариантов матрицы N: Первые два случая соответствуют резонансу 1:1,направления выхода в пространственные периодические орбиты дают векторы (y3,0) и (0,y6).Третий и четвертый случаи соответствуют резонансу 2:1, направления выхода в пространственные орбиты удвоенного периода дают векторы (y3,0) и (0,y6).

13. Поворот Пятый случай соответствует |s2|<1. Введем угол f из условий cos f=s2, n21sin f>0. Замена переменных с матрицей C переводит матрицу N в матрицу S, где . Пусть f рационально выражается через p, f=2pp/q, p и q -- целые. Повторенному q раз исходному решению будет соответствовать матрица , Следовательно, два направления выхода в орбиты периода qT дают векторы (y3,0) и (0,y6), порождаются два новых семейства пространственных орбит.

14. Орбиты семейств SZS1 и SZS2 y y Земля Земля x x

15. Орбиты задачи Хилла, семейства g и g’

16. Таб.1

17. Таб.2

18. Орбита с периодом 278.1 суток во вращающейся геоцентрической системе координат

19. Орбита с периодом 305.4 суток во вращающейся геоцентрической системе координат

20. Орбита с периодом 328.7 суток

21. Орбита с периодом 305.4 суток в эклиптической системе координат

22. Апогей орбиты с периодом 305.4 суток

23. Перигей орбиты с периодом 305.4 суток

24. Широта перигея орбиты с периодом 305.4 суток

25. Долгота перигея орбиты с периодом 305.4 суток

26. Широта вектора нормали к плоскости орбиты с периодом 305.4 суток

27. Долгота вектора нормали к плоскости орбиты с периодом 305.4 суток

28. Формально вычисленный период

29. Направление вектора Земля-КРТ за 4 года и 2 месяца

30. Направление вектора Земля-КРТ за 4 года и 4 месяца

31. Расстояние Земля-КРТ за 305.4 суток

32. Проекция орбиты на ось Земля- Солнце x

33. Анализ орбиты

34. Литература. 1.Кардашев Н.С., Крейсман Б.Б., Пономарев Ю.Н. Новая орбита и новые возможности проекта "РАДИОАСТРОН". В кн.: Радиоастрономическая техника и методы. М.: ФИАН, 2000 (Труды ФИАН; Т.228). С. 3-12. 2. А.Пуанкаре Новые методы небесной механики.- Избр. тр. Т. 1,2.М. Наука, 1971,1972. 3. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел.М., Наука, 1982, 656 с. 4. Крейсман Б.Б. О симметpичных периодических решениях плоской ограниченной задачи трех тел. Препр. ФИАН,1997, №66, 131с. 5. Крейсман Б.Б. Семейства период. решений гамильт. систем. Несиммет.период. решения плоской огран. задачи трех тел.Косм. иссл., 2005, том 43, №2. С.88-110. 6. Крейсман Б.Б. Периодические решения пространственной огранич. задачи трех тел. Труды ГАИШ, том LXXV,Москва, 2004, с.210-211. 7. Лидов М.Л. и Ляхова В.А. Об одном варианте орбиты для околоземного радиоинтерферометра. Письма в АЖ, 1988, Т.14, No. 9. С.851-855. 8. Материалы технических предложений по КНА обсерватории “Миллиметрон”. М., АКЦ ФИАН, 2006.

35. Благодарю за внимание