第四节隐函数及由参数方程所确定的函数导数相关变化率

第四节隐函数及由参数方程所确定的函数 导数相关变化率一. 隐函数的导数在方程F(x,y)=0中,如果当x在某区间I上取任意一值时,相应地总有唯一一个满足该方程的y值存在,这种由方程所确定的函数称为隐函数,它的定义域为I,有时也记作 y=f(x).不过这里的f的具体表示式不一定能求得出来. 例如, 方程x+3y-4=0, xy+ex - ey＝0都确定了y是x的隐函数, 对于前一个方程,可以解出,我们称为隐函数的显化.后面一个方程就解不出 y=f(x). 这里为了满足计算的需要,我们用下面的例题说明隐函数的求导方法

例1 求由方程 xy+ex-ey=0 所确定的隐函数的导数 dy/dx 解:将题设方程两边都对x求导,得到方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的复合函数, 例如 1/y, y2, lny, ex 等都是x的复合函数,对x求导应按复合函数求导方法做.

例2 求由方程y=sin(x+y)所确定的隐函数的导数. 解: 对两边都对x求导,我们得到对于隐含数还有一种求导数的方法对数求导法对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取导数,比用通常方法计算简单.

例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函数,且都在点x处可导. 分析: 先取对数例如

例4 求 的导数解：

例5 解:

例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数 分析:1 可把右式展开后求导,也可利用乘积求导.后者方便. 2 可把右式展开后求导,也可用复合函数求导.后者方便.

3 用商的求导公式,也可先化简后求导的方法,后者方便 4 可用复合函数求导或对数性质把函数变形后再求导.后者好 5 (1)可用商的求导方法(2)用乘积求导方法(3)可化简后再求导;

方法和5一样,用商和乘积的方法不如用对数的方法化方法和5一样,用商和乘积的方法不如用对数的方法化 • 简后求导. 同样的问题采用好的方法,不但计算方便而且正确.通过上述研究我们知道初等函数的导数仍然是初等函数.而隐函数,参数方程确定的函数不一定是初等函数,但可用上述求导方法得到它的导数.

例7 设f(x) ＝ x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-100) 求 f ‘(0)分析: 本题利用乘积求导方法比较麻烦,不如采用导数定义求方便例8 求幂指函数 y=xx 的导数用性质用对数

利用上式可求得 隐函数的二阶求导就是在隐函数的一阶求导的基础上, 在等式两边再对x求导一次,下面举例说明:

例9 求由方程 x-y+1/2·siny=0 所确定的隐函数y的二阶导数 y” 解: 方程两边对x求导,得到上述方程再对x求导,得到

设给定参数方程 通过参数t确定了都可导,由它构成的复合函数.我们二由参数式方程所确定的函数的导数具有单调性，y 为 x 的函数有时由上面的方程消去t,得到的y=f(x)比较复杂,有时还写不出来.它的反函数存在，并设上面函数应用复合函数及反函数的求导公式,得到

在t=2处的切线方程 例11 求曲线分析: 当t=2时,所求切线的切点的坐标为(6a/5,12a/5)切线的斜率是 y’x ，因为

参数式的二阶求导 在参数方程的一阶导数的基础上,我们来讨论参数式的二阶导数的求法. 设函数的参数式为x=φ(t), y=ψ(t), 则它们的二阶导数

例12 求函数的二阶导数 在求参数方程的导数时,不要同函数的求导混淆起来.要求采用形式

三.相关变化率 设 x= x(t)及 y = y(t) 都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而变化率 dx/dt 与 dy/dt 之间也存在一定关系。两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率. 通过举例说明

h α 500m 例5 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为140m/min.当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升ts(秒)后,其高度为h,观察员视线的仰角为α,则tgα=h/500. 其中α和h都是时间t的函数.上式两边对t求导,得到即观察员视线的仰角增加率是 0.14rad/min.

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数 导数相关变化率