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第九章 渐近法

第九章 渐近法. 力矩分配法的概念及基本运算 多结点力矩分配法 — 渐进运算 无剪力分配法 力矩分配法位移法联合应用 超静定力影响线 连续梁的最不利荷载及内力包络图. 1. 1. 1. 1. §9-1 力矩分配法的基本概念及基本运算. 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。. 力矩分配法的. 1 、转动刚度 S ：. 使杆端发生单位转角时需在杆端施加的力矩。. 表示杆端抵抗转动的能力。. S AB =4 i. S AB =3 i. S AB = i. S AB = 0.

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第九章 渐近法

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  1. 第九章 渐近法 • 力矩分配法的概念及基本运算 • 多结点力矩分配法—渐进运算 • 无剪力分配法 • 力矩分配法位移法联合应用 • 超静定力影响线 • 连续梁的最不利荷载及内力包络图

  2. 1 1 1 1 §9-1 力矩分配法的基本概念及基本运算 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。 力矩分配法的 1、转动刚度S： 使杆端发生单位转角时需在杆端施加的力矩。 表示杆端抵抗转动的能力。 SAB=4i SAB=3i SAB=i SAB=0 SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。

  3. 因此，在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）因此，在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移） 远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。 Δ MAB MAB MAB ① ② MAB 1 1 1 ③ ④ θ 1 下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB √

  4. 1 1 1 1 1、转动刚度S： 表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 SAB=4i SAB=3i 0 2i 远端支承 转动刚度 传递系数 固定 4i 1/2 C=1/2 C=0 SAB=i SAB=0 －i 0 铰支 3i C=－1 －1 定向支座 i SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关， 而与近端支承无关。 2、传递系数C： 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。 即： 传递系数与远端支承有关

  5. A B i C 2、传递系数C： 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即： 3、单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法 M MiA=4iθ=SiAθ 注：1）μ称为力矩分配系数，结点力矩按分 配系数分配与各杆近端。 2）分配力矩是杆端转动时产生的近端 弯矩。 3） ∑μ=1 4）结点集中力偶荷载顺时针为正。 MiB=3iθ=SiBθ MiC=iθ=SiCθ ∑M= MiA+MiB+MiC－M=0 a）分配系数和分配力矩 b）传递系数和传递力矩 Mcji=CMuij j=A，B，C 注： 1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。 2）只有分配弯矩才能向远端传递。

  6. C A B 3i 4i 3m 3m 6m MB MB －MB=－60 C A B C C A A B B mBA mBC 165 120 90 300 200kN 200kN 20kN/m 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法 1）锁住结点 μ 1/2 1/2 节点不平衡力 矩要变号分配. mFij －150 150 －90 不平衡力矩= 固端弯矩之和 －15 －30 －30 －150 150 －90 Mij －165 120 －120 MB=150－90=60 2）放松结点 SBA=4×3i=12i SBC=3×4i=12i －15 －30 －30 M图（kN.m) μBA=12i/24i=1/2 3）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩 μBC=12i/24i=1/2 Mij=mFi j+ Mui j + Mci j

  7. 70 15kN 100kN 40 D A B i=1 i=1 大家算μAB= MA mAB i=2 M=15 μAC= μAD= 80 2m 2m 4m mAD 2）求mFij 计算mFAB= C mAC mFBA = mFAD= 40kN/m 4m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 例：用力矩分配法计算,画M图。 解：1）求μ 100 4/9 10 2/9 3/9 50 M图（kN.m) － 50 － 80 M+MA= mFAB+ mFAD+ mFAC － M =50－80－15= －45 结点 B A C D 杆端 BA AB AD AC CA DA 分配系数 4/9 3/9 2/9 固端弯矩 50 － 50 － 80 分配与传递 10 20 15 10 －10 最后弯矩 － 40 70 － 65 10 － 10

  8. i=2 i=2 D A B C 2EI i=1 EI 2EI MB=－128 MC=78.6 MC=53 4m 4m 8m 8m －MB －MC=－78.6 －15.7 15.7 50kN 50kN 24kN/m 24kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ §9-2 多结点力矩分配法——渐进运算 取EI=8 μBA=0.6 μBC=0.4 μCB=0.4 μCD=0.6 －128 128 －75 0.6 0.4 分配系数 0.4 0.6 固端弯矩 －128 128 －75 25.6 76.8 51.2 76.8 51.2 25.6 逐次放松结点进行分配与传递 －31.4 －47.2 －15.7 9.4 6.3 3.2 －15.7 －31.4 －47.2 －1.3 －1.9 －0.7 0.4 0.3 0.2 －0.1 －0.1 9.4 6.3 25.6 最后弯矩 0 86.6 －86.6 124.2 －124.2

  9. 124.2 86.6 i=2 i=2 i=2 i=2 i=2 i=2 i=2 i=2 i=1 i=1 i=1 i=1 C A B C 192 100 4m 4m 8m 8m 50kN 24kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图（kN.m)

  10. 注 意： 1）单结点力矩分配法得到精确解,多结点力矩分配法得到 渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算： • 固端弯矩之和 （第一轮第一结点） • 固端弯矩之和 • 加传递弯矩 （第一轮第二三……结点） 结点不平衡力矩 （其它轮次各结点） • 传递弯矩 • 总等于附加刚臂上的约束力矩 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数） 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。

  11. 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D A 4I 1 i=1 5I 1 1 C 4I 1 1 B 3I 0.75 0.75 0.5 3I 0.5 E 2m F ql 2 = = mF 40 kN . m BA 8 4m ql 2 = - = - mF 41 . 7 kN . m BC 12 ql 2 4m 4m 5m = = mF 41 . 7 kN . m CB 12 例题 求图示刚架 的弯矩图。 解：1）求分配系数 SBA=3 SBC=4 SBE=4×3/4=3 SCB=4 SCD=3 SCF=4×1/2=2 结点B：∑S=SBA+SBC+SBE 3+4+3=10 μBA=3/10=0.3 μBC=4/10=0.4 μBE=3/10=0.3 结点C：∑S=SCB+SCD+SCF 4+3+2=9 μCB=4/9=0.445 μCD=3/9=0.333 μCF=2/9=0.222 1）求固端弯矩

  12. BA BE BC CB CF CD A D C B μBA=3/10=0.3 μBC=4/10=0.4 μBE=3/10=0.3 μCB=4/9=0.445 μCD=3/9=0.333 μCF=2/9=0.222 mFCB=41.7kN.m E ql 2 = = mF 40 kN . m BA 8 F ql 2 = - = - mF 41 . 7 kN . m Bc 12 0.445 0.222 0.333 0.3 0.3 0.4 40 －41.7 41.7 －9.3 －18.5 － 9.3 －13.9 40－41.7－9.3=－11 3.3 3.3 4.4 2.2 －0.5 －1.0 － 0.5 －0.7 0.15 0.15 0.2 24.4 － 9.8 －14.8 43.4 3.5 －46.5 FC 1.6 EB －4.7 0.1 －0.2 1.7 －4.9

  13. 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ D A C B D D A A C C B B E E E F F F 29.1 54.5 3.7 45.5 2.5 50.9 1.2 1.3 2.5 FS图(kN) 105.4 49.2 FN图(kN) 46.9 43.4 24.4 14.6 9.8 3.5 1.7 M图（kN.m) 4.9

  14. A B C 1m 5m 50kN 50kN 50kN 50 1m 20.8 静定伸臂的处理 例题 作图示梁的M图。 5 50 EI=常数 i=5 SBA=15 SBC=3 i=1 μBC=1/6 μBA=5/6 5/6 1/6 μ m 25 50 －20.8 －4.2 20.8 M －20.8 50 M图（kN.m)

  15. 4EI 4EI i=4 i=4 2EI 2EI 1m 5m 5m i=2.5 i=2.5 20kN 20kN 结点 A E B C F 杆端 AB EB BE BA BC CB CF FC μ m 2kN/m 4m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 用力矩分配法计算，作M图。 20 A 取EI=5 B C MB=31.25－20.83=10.42 MC=20.83－20－2.2=－1.37 E F (－20) 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385 0 0 0 31.25 －20.83 20.83 0 0 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20 －1.37 0.84 0.53 0.42 0.27 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09 －0.05

  16. (20) 结点 A E B C F 杆端 AB EB BE BA BC CB CF FC μ 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385 m 0 0 0 31.25 －20.83 20.83 0 0 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20 －1.37 0.84 0.53 0.42 0.27 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09 －0.05 0.06 0.03 0.03 0.02 －0.01 －0.01 －0.01 M 0 －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.56 0.29 • 计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。 • 有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中 • 力偶(顺时针为正)

  17. 20kN/m ↓↓↓↓↓↓ A 2i G i i i 1.5m 3m C i H i i i E A C 结点 E 杆端 AG CA CH CE EC AC μ 20kN/m 3m 3m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ m SAG=4i SAC=4i SCA=4i 4i SCH=2i SCE=4i μAG=0.5 μAC=0.5 2i μCA=0.4 μCH=0.2 μCE=0.4 0.5 0.5 0.4 0.2 0.4 －15

  18. 7.11 7.11 0.5 0.5 0.4 0.2 0.4 2.63 2.63 －15 0.78 1.58 1.58 0.79 A C 结点 E 杆端 AG CA CH CE EC AC μ 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ m 7.5 7.5 3.75 － 0.75 －1.50 －0.75 －1.50 － 0.75 0.37 0.38 0.19 M图（kN.m) － 0.04 0.79 －0.08 －0.03 －0.08 － 0.04 0.02 0.02 M －7.11 7.11 2.36 －0.78 －1.58 －0.79

  19. A B l1 = S 2 i BE 1 = S 2 i C D BF 2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ i q m = 1 BE + i i 1 2 i E B m = 2 BF + i i 1 2 F 2 q l ql 2 = = 1 1 mF ( ) BE 3 2 12 BE BF q q 1 l2 + i i i μ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓ 1 2 i 2 + i i 1 2 例题 9-6 求矩形衬砌在土压力作用下的弯矩图。 I1 E I2 解：取等代结构如图。 设梁柱的线刚度为i1，i2 2i1 2i2

  20. μ i1 m i2 i2 i1 BE BF 1 + i i i 1 2 i 2 + i i 1 2 M图 M • 当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i2>20i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。 • 当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i1>20i2),梁端弯矩接近于零。 此时竖柱对横梁起铰支座的作用。 • 由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅 决定于构造作法，也与相对刚度有关。 • 如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横 梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的 20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。

  21. Δ 2kN/m 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ 1、无剪力分配法的应用条件：刚架中除了无侧移杆外，其余的杆全是剪力静定杆。 §9-3 无剪力分配法 2、剪力静定杆的固端弯矩： • 求剪力静定杆的固端弯矩时 • 先有平衡条件求出杆端剪力； • 将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。 3、剪力静定杆的S和C： MAB=4iθA－6iΔ/l MBA=2iθA－6iΔ/l A θA ∵ FSBA=－（MAB+MBA）/l=0 ∴ MBA= －MAB ， Δ/l=θA /2 ∴MAB=iθA , MBA=－iθA B • 剪力静定杆的 S= i C=－1 计算固端弯矩上端定向、下端固定；计算S和C上端固定、下端定向

  22. B C 1.39 i1=4 2m 2m i2=3 A 6.61 5kN AB BA BC CB 4m 1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 例题 9-7用无剪力分配法计算刚架。 解：1、求分配系数 SBC=3i1=12 SBA=i2=3 μBC=4/5 μBA=1/5 BA杆的传递系数 =－1 5.70 M图（kN.m) 2、求固端弯矩： μ 1/5 4/5 m －5.33 －3.75 －2.67 分传 1.28 5.14 －1.28 M －6.61 －1.39 1.39 0

  23. (3) (3) (4) (5) (5) (4) (1) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (3) (4) (5) (4) (3) (5) 8m×6=48m 6kN 3kN 6kN 2kN 12kN 6kN 6kN (3) (4) (5) 4kN 4kN 6kN 6kN 2kN 4kN 3kN 3kN 2kN 6kN 2kN 3kN 4kN 2kN 5n 6kN 6kN 2kN 2kN 3kN 3kN M=0 (6) (4) (2)

  24. 1、求μ：大家算 A C D B (6) (4) (2) G F E 1kN 4kN 6kN A C D 结点 B 杆端 AE AB BA BF BC CB CG CD DC 6kN (3) (4) (5) μ 6/7 1/7 4/19 5/15 3/19 12/19 4/15 6/15 2kN 3kN m －24 －24 －16 －16 －4 －4 6kN 2kN 3kN 2、求m：大家算 6.32 25.26 8.42 －6.32 －8.42 25.99 4.33 7.58 11.37 9.47 －4.33 －7.58 －9.47

  25. 6.32 25.26 8.42 －6.32 －8.42 25.99 4.33 7.58 11.37 9.47 －4.33 －7.58 －9.47 A C D 结点 B 杆端 AE AB BA BF BC CB CG CD DC μ 6/7 1/7 4/19 5/15 3/19 12/19 4/15 6/15 m －24 －24 －16 －16 －4 －4 1.88 7.52 2.51 －1.88 －2.51 0.67 1.00 0.84 1.61 0.27 －0.67 －0.84 －0.27 0.15 0.59 0.20 M 27.60 －27.60 －20.25 33.37 －13.12 －18.68 12.37 6.31 －14.31 请自己完成弯矩图的绘制 。 位移法习题课

  26. Δ Δ=1 R1P r11 ↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓ §9-4 力矩分配法与位移法的联合应用 对于有线位移的结构，可联合应用力矩分配法和位移法求解， 用位移法考虑线位移的影响，用力矩分配法考虑角位移的影响。 首先，用位移法求解，取无侧移的刚架为基本体系，线位移 为基本未知量，角位移不算作基本未知量。位移法方程为： 而弯矩可表示为： 其中： 可由力矩分配求解。r11，R1P可由弯矩图求得。

  27. 20kN/m 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ Δ=1 D A 4I 4I 4I 5I 5I 5I C 4I 4I 4I B 3I 3I 3I 3I 3I 3I E F 2m D A C B E F R1P r11 D A C B 4m E F 4m 5m 4m 例题 9-10 试用联合法求 图示刚架的弯矩图。 设EI=1

  28. BA A D C B E F BE BC CB CF CD 0.445 0.222 0.333 0.3 0.3 0.4 －0.5 －1.125 0.338 0.338 0.449 0.225 0.122 0.061 0.092 0.061 -0.019 -0.019 -0.023 -0.012 0.005 0.003 0.004 0.319 -0.806 0.487 0.340 -0.436 0.096 EB －1.125 0.169 FC -0.009 －0.5 -0.965 0.031 0.001 －0.468

  29. 20kN/m 46.9 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 43.4 Δ=1 24.4 14.6 D A 9.8 C B 3.45 1.7 E F MP图（kN.m) 4.9 D A C B R1P r11 E F M 0.318 0.340 0.806 0.436 0.096 0.488 0.965 0.467

  30. 46.9 43.4 47.8 24.4 14.6 20kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 42.8 23.7 D A 9.8 C B 3.45 1.7 E F MP图（kN.m) 4.9 0.318 0.340 0.806 0.436 D D A A C C B B 0.096 0.488 E E 0.965 F F M 0.467 14.8 8.9 5.0 18.5 26.7 M图(kN.m) 最后弯矩可表示为： 3.6 4.0

  31. Z1 Z1 Z1=1 x x δ11 δP1 P=1 P=1 §9-5 超静定力的影响线（机动法） W12=Z1δ11 +PδP1=W21 =0 Z1(x)= －δP1(x)/δ11 Z1 = －δ P1 /δ11 机动法作法: 1、撤去与约束力Z1相应的约束。 2、使体系沿Z1的正方向发生位移， 作出荷载作用点的挠度图δP1 图，即为影响线的形状。横坐 标以上图形为正，横坐标以下 图形为负。 3、将δP1 图除以常数δ11 ，便确 定了影响线的竖标。 ① ② • 静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图,因而是折线； • 超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图,因而是曲线。

  32. δ11 δ11 A A A A A B B B B B C C C C C D D D D D E E E E E F F F F F x x δ11 P=1 P=1 RC MC.I.L MC MK.I.L MK K RC.I.L QC右.I.L

  33. A B C D E F K MK.I.L x MKmax RC.I.L RCmax MC.I.L P=1 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓　　　　　　　↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓　　　　　　　↓↓↓↓↓↓↓ §9-6 连续梁的最不利荷载布置及内力包络图 MCmin • 跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载,向两边每隔一跨有活载。 • 支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨有活载,向两边每隔一跨有活载。

  34. 求在恒载和活载联合作用下，各截面可能 产生的最大正弯矩Mmax和最大负弯矩Mmin。 连续梁的内力包络图： 求Mmax和Mmin的原则：1、必有恒载作用，且永远出现。 2、活载按最不利情况考虑。 具体作法： 1、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。 2、全梁布满恒载，绘制M恒。 3、逐个的单独一跨布满活载，绘制各M活图。 4、求出各计算截面的Mmax 和Mmin。 5、将各截面的Mmax值用曲线联结起来，将各截面的Mmin值用曲线联结起来，这两条曲线即形成弯矩包络图或弯矩范围图。

  35. 例：已知恒载集度q=12kN/m，活载集度p=12kN/m。作M包络图。例：已知恒载集度q=12kN/m，活载集度p=12kN/m。作M包络图。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 90 120 120 10m 10m 10m 20 30 30 20 30 30 30 90 80 80 10 10 110 110 60 60 90 0 2 4 6 8 10 12 P=12kN/m P=12kN/m P=12kN/m q=12kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M恒 M活1 M活2 M活3 Mmax 0 210 －100 120 －100 210 0 Mmin 0 60 －260 －30 －260 60 0

  36. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 260 260 100 100 30 60 60 210 210 0 2 4 6 8 10 12 Mmax 0 210 －100 120 －100 210 0 Mmin 0 60 －260 －30 －260 60 0 120 弯矩图包络图（kN.m) 将设计时不需要考虑的弯矩图，在弯矩图包络图用虚线表示。

  37. δ11 E A B C D P=1 MB=1 P=1 B E A C D δP1 超静定梁的影响线绘制（机动法） Z1(x)= －δP1(x)/δ11 1、撤去与所求约束力Z1相应的约束。 2、使体系沿Z1的正方向发生位移， 作出荷载作用点的挠度图δP1 图，即为影响线的形状。横坐标以上图形为正，横坐标以下图 形为负。 3、将δP1 图除以常数δ11 ，便确定了影响线的竖标。 先绘制支座弯矩的影响线：如MB

  38. MA MC δ11 x 1 B E A C D 求δ11的 M 1 B 求δ1p的 M E A C D l－x P=1 MB MB P=1 B B E E A A C C D D δP1 产生δ11 δ1P的Mp MB 杆端弯矩使梁 下侧受拉为正。

  39. A B C D x2 x2 x1 6m 6m 6m 0.25 1 P=1 P=1 P=1 例题2-11 求图示连续梁支座弯矩MB的影响线。 0.5 MB=1 AB: BC: CD:

  40. 0.346m 0.389m 0.497m 0.520m 0.281m 0.123m A B C D 0.151m 0.175m 0.108m AB: BC: CD: 利用已作出的弯矩影响线,即可按叠加法求得连续梁上 任一截面的弯矩、剪力以及支座反力影响线。 课间休息 单元练习

  41. 结 束

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