1 / 45

Begzada Kišić

Kvadratne funkcije. Begzada Kišić. Kvadratne funkcije su funkcije oblika y=ax 2 +bx+c, gdje su a,b,c realni brojevi i a ≠0 Definisane su za sve realne vrijednosti x Prvo ćemo ispitivati funkcije oblika y=ax 2 , b=0 i c=0 Funkcije imaju dvostruku nulu x=0. za a= 1 imamo y=x 2.

ikia
Download Presentation

Begzada Kišić

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kvadratne funkcije BegzadaKišić

  2. Kvadratne funkcije su funkcije oblika y=ax2+bx+c, gdje su a,b,c realni brojevi i a≠0 • Definisane su za sve realne vrijednosti x • Prvo ćemo ispitivati funkcije oblika y=ax2 , b=0 i c=0 • Funkcije imaju dvostruku nulu x=0

  3. za a=1 imamo y=x2

  4. za a=2 imamo y=2x2

  5. za a=½ imamo y= ½x2

  6. za a=-1 imamo y=-x2

  7. za a=-2 imamo y=-2x2

  8. za a=- ¼imamo y=- ¼x2

  9. zaključak • Grafik funkcije y=ax2 je parabola sa tjemenom u tački T(0,0) • Za a>0 funkcija u tjemenu ima minimum parabola je otvorena prema gore • Za a<0 funkcija u tjemenu ima maksimum parabola je otvorena prema dolje • Funkcija ima znak parametra a • Tok funkcije mijenja se u tjemenu

  10. Sada ćemo ispitivati funkcije oblika y=ax2+c , b=0 • Vrijednosti funkcije su za c veće ili manje od vrijednosti funkcije y=ax2

  11. za a=1 i c=-5 imamo y=x2-5

  12. za a=1 i c=3 imamo y=x2+3

  13. za a=-1 i c=6 imamo y=-x2+6

  14. za a=-1 i c=-2 imamo y=-x2-2

  15. zaključak • Parametar c pomjera grafik funkcije y=ax2 , prema gore ako je c>0 a prema dolje kad je c<0 • Tjeme parabole se pomjera duž ose y i ima koordinate T(0,c) • Za a>0 i c>0 funkcija je uvijek pozitivna • Za a<0 i c<0 funkcija je uvijek negativna • Funkcija mijenja znak, grafik siječe osu x, kad su parametri a i c suprotnog predznaka

  16. Posmatrajmo funkcije oblika y=a(x-x0)2, a≠0 • Ove funkcije imaju dvostruku nulu x= x0, a to će biti tačka u kojoj grafik dodiruje osu x • Za x ≠ x0 funkcija ima znak parametra a

  17. za a=1 i x0=4 imamo y=(x-4)2

  18. za a=1 i x0=-3 imamo y=(x+3)2

  19. za a=-1 i x0=3 imamo y=-(x-3)2

  20. za a=-1 i x0=-2 imamo funkciju y=-(x+2)2

  21. zaključak • Parametar x0 pomjera parabolu duž ose x • Tjeme parabole se takođe pomjera duž ose x i ima koordinate T(x0,0) • Funkcija ne mijenja znak , on zavisi samo od parametra a

  22. Posmatrajmo funkcije oblika y=a(x-x0)2+y0, a≠0 • Parametar y0 će grafik funkcije y=a(x-x0)2, a≠0 pomjerati prema gore kad je y0>0, a prema dole za y0<0

  23. y=(x-3)2,y=(x-3)2+2,y=(x-3)2-3

  24. y=-(x+2)2,y=-(x+2)2+1,y=-(x+2)2-3

  25. zaključak • Tjeme parabole ima koordinate T(x0, y0) • Funkcija nema nula i ne mijenja znak kad su a i y0 istog predznaka • Funkcija ima dvije realne i različite nule kad su a i y0 suprotnog predznaka i u tim tačkama mijenja znak

  26. Neka je data funkcija y=ax2+bx+c, a≠0 • Da bismo skicirali njen grafik (parabolu) potrebne su nam karakteristične tačke: - Nule funkcije tražimo iz uslova y=0 - Tačku u kojoj grafik siječe osu y tražimo iz uslova x=0 - Tjeme možemo odrediti ako funkciju svedemo na oblik y=a(x-x0)2+y0

  27. Koordinate tjemena možemo odrediti i na drugi način • Kako je parabola simetrična u odnosu na pravu koja prolazi kroz tjeme paralelno osi y apscisa tjemena xT je aritmetička sredina nula tj.

  28. Dakle tjeme funkcije y=ax2+bx+c je • Primjer 1. y=2x2-8x+6 a=2, b=-8, c=6 • Nule: 2x2-8x+6=0, D=16 x1=1, x2=3 (1,0) i (3,0) • Presjek sa osom y: x=0,y=6 (0,6) • Tjeme: T(2,-2)

  29. y=2x2-8x+6

  30. Osobine kvadratne funkcije y=2x2-8x+6 određujemo sa grafika • Funkcija je definisana za sve realne brojeve • Grafik je parabola otvorena prema gore, funkcija ima minimum ymin=yT=-2 • Funkcija opada za xє(-∞,2), a raste za xє(2,+∞) • Funkcija ima realne i različite nule i u njima mijenja znak: y>0 za xє(-∞,1) i xє(3,+∞) y<0 za xє(1,3) • Vrijednosti funkcije (kodomen) su yє[-2, ∞)

  31. Zadaci po grupama • GRUPA I • Odredi karakteristične tačke funkcije y=2x2-4x-6, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

  32. GRUPA II • Odredi karakteristične tačke funkcije y=-x2+4x-3, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

  33. GRUPA III • Odredi karakteristične tačke funkcije y=-3x2+6x-5, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

  34. GRUPA IV • Odredi karakteristične tačke funkcije y=x2-6x+9, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

  35. GRUPA V • Odredi karakteristične tačke funkcije y=-2x2+6x, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

  36. GRUPA VI • Odredi karakteristične tačke funkcije y=x2+4x+5, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

  37. Rješenje grupe I

  38. Rješenje grupe II

  39. Rješenje grupe III

  40. Rješenje grupe IV

  41. Rješenje grupe V

  42. Rješenje grupe VI

  43. a>o funkcija ima minumum ymin=yT f-ja opada za x<xT, a raste za x>xT za D>0 funkcija mijenja znak u nulama y>0 za xє(-∞, x1 )υ(x2,+∞) y<0 za xє(x1,x2) za D=0 funkcija ima dvostruku nulu za D<0 y>0 za svako x a<0 funkcija ima maksimum ymax=yT f-ja raste za x<xT, a opada za x>xT za D>0 funkcija mijenja znak u nulama y<0 za xє(-∞, x1 )υ(x2,+∞) y>0 za xє(x1,x2) za D=0 funkcija ima dvostruku nulu za D<0 y<0 za svako x Osobine kvadratne funkcije y=ax2+bx+c, a≠0

  44. HVALA NA PAŽNJI!

More Related