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1. 3 正、余弦定理应用举例

1. 3 正、余弦定理应用举例. 抽象概括. 实际问题. 数学模型. 示意图. 演算. 推理. 数学模型的解. 实际问题的解. 还原说明. 实际问题应用模型. 问题 1. 怎样测量一个 底部不能到达 的建筑物的高度？. 如图，在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼，如何通过测量，求得角楼的高度？. 分析：如图，设线段 AB 表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置 C 对角楼进行测量。.

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1. 3 正、余弦定理应用举例

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  1. 1.3正、余弦定理应用举例

  2. 抽象概括 实际问题 数学模型 示意图 演算 推理 数学模型的解 实际问题的解 还原说明 实际问题应用模型

  3. 问题1. 怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？ 如图，在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼，如何通过测量，求得角楼的高度？

  4. 分析：如图，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C对角楼进行测量。分析：如图，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C对角楼进行测量。 设CC’为测量仪器的高，过点C’的水平面与AB相交于点B’，这时由测点C’，可测得点A的仰角α的大小。在△AB’C’中，三条边的长度都无法测出，因而AB’无法求得。

  5. 如果移动测量仪CC’到DD’（测量仪高度不变），想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？ 事实上，如图所示，在点B’，C’，D’构成的三角形中，可以测得∠β和∠γ的大小，又可测得B’C’的长。这样，我们就可以根据正弦定理求出边B’C’的长，从而求出AB’的长。使得问题得到解决。

  6. 某校用自制的仪器，测得α=20°，β=99°，γ=45°，CD=60m，测量仪器的高是1.5m，试求出故宫角楼的高度。（精确到0.1米）某校用自制的仪器，测得α=20°，β=99°，γ=45°，CD=60m，测量仪器的高是1.5m，试求出故宫角楼的高度。（精确到0.1米） 解：在△B’C’D’中，由正弦定理得，因此

  7. 在△AB’C’中， AB’=B’C’tanα =72.17×tan20° ≈26.3m， 因此，AB=AB’+BB’ =26.3+1.5=27.8(m). 答：故宫角楼的高约为27.8m.

  8. 问题2 怎样测量地面上两个不能到达的地方间的距离？ 设A、B是两个海岛，如何测量它们之间的距离？ 分析：如图，A、B分别是两个海岛上接近海面的两处标志性设施，与问题1类似，如果只旋转一个测点C，那么在△ABC中只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决。

  9. 因此需要再选择一个测点D。构造一个能测出其一条边长的△BCD。 要求出AB，还应先求出AC和BC，为此应先解决△ACD和△BCD。 解：如图在海边适当选取两个测点C，D，使A，B，C，D在一个平面内，测得CD=a，∠ACB=α，∠ADC=β，∠BCD=θ，∠BDC=δ，

  10. 在△BCD中，由正弦定理，得 即 在△ACD中，∠A=180°－(α+β+θ)，由正弦定理，得

  11. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2=BC2+AC2－2BC·ACcosα， 把BC、AC代入上式即可求出AB。

  12. 问题3. 如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10N，且OA、OB都是细杆，只受沿杆方向的力。试求杆OA、OB所受的力。 分析：点O处受到三个力的作用：灯线向下的拉力（记为F），O到A方向的拉力（记为F1），从B到O方向的支持力（记为F2），这三个力是平衡的。 即F+F1+F2=0，

  13. 解：如图作 ，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，作□OCED，则 ， ， 由题设条件可知， 在△OCE中，由正弦定理得

  14. 因此， 答：灯杆AO所受的拉力为11.3N，灯杆OB所受的压力为12.3N。

  15. 问题4. 如图，在海滨某城市附近海面有一台风，据检测，台风中心位于城市A的南偏东30°方向，据城市300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西45°方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为120km，几小时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到0.1h)？

  16. 解：如图所示，设台风的中心x小时到达位置Q时，开始侵袭该城市，在△AQP中，依题意，解：如图所示，设台风的中心x小时到达位置Q时，开始侵袭该城市，在△AQP中，依题意， 得AQ=120km，AP=300km，PQ=20x， ∠P=60°－45°=15°， ∠A=180°－15°－∠Q=165°－∠Q， 由正弦定理，得方程组

  17. 由①得 所以∠Q≈40.3°(不合题意舍去)，∠Q=139.7° 因此∠A≈180°－15°－139.7°=25.3°， 代入②得 所以 答：大约9.9小时后，该城市开始受到台风的侵袭。

  18. 例5. 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，有BC=at，AC= at， ∠B=90°+30°=120°，

  19. 由 得 因为0°<∠CAB<90°，所以∠CAB=30°. 故∠DAC=60°－30°=30°， 答：甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇。

  20. 例4. 如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km处和54km处，某时刻，检测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号， 在当时的气象条件下， 声波在水中的传播速度 是1.5km/s，

  21. （1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离并求x的值；（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离并求x的值； （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km)。 解：（1）依题意知 PA－PB=1.5×8=12(km)， PC－PB=1.5×20=30(km)， 因此 PB=(x－12) (km)，PC=(18+x) (km)， 在△PAB中，AB=20，

  22. 同理 在△PAC中 由于cos∠PAB=cos∠PAC，即 (km)。 解得

  23. （2）作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中， PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB

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