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在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。 —— 毕达哥拉斯

在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。 —— 毕达哥拉斯. 图形运动问题. 郑晓平. （ 2006 年中考 ） ．如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm ，在对称中心 O 处有一钉子。动点 P 、 Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 A → B → C 方向以每秒 2 cm 的速度运动，到点 C 停止，点 Q 沿 A → D 方向以每秒 1 cm 的速度运动，到点 D 停止。 P 、 Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设 x 秒后橡皮筋扫过的面积为 ycm 2 。 (1) 当 0≤ x ≤1 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；

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在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。 —— 毕达哥拉斯

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  1. 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。 ——毕达哥拉斯

  2. 图形运动问题 郑晓平

  3. （ 2006年中考）．如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子。动点P、Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A→D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P、Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2。 (1)当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式； (2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值； (3)当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围； (4)当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象。 y B P C B C 3 P 2 O O 1 A Q Q D D A x O 1 2 (第28题图)

  4. （2007年中考）．如图①，在边长为cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG、EB．设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0)．E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为xs，解答下列问题：（2007年中考）．如图①，在边长为cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG、EB．设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0)．E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为xs，解答下列问题： (1)当0＜x＜8时，直接写出以E、F、G、H为顶点的四边形是什么四边形，并求出x为何值时，S1＝S2； (2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式； (图②为备用图)A(第28题图)BDCEFGH图①图②ABDCS1S2 ②求y的最大值． G C D C D F S1 H E S2 B A B A 图② 图① (第28题图)

  5. N M A D E H M N F G A D Q E P B C H M N F G Q （备用图） P B C P Q （2008年中考题）在长为6厘米，宽为3厘米的矩形PQMN中，有两张边长分别为2厘米和1厘米的正方形纸片ABCD和EFGH，且BC在PQ上，EF在PN上，PB=1厘米，PF=0.5厘米。从初始时刻开始，纸片ABCD沿着PQ以2厘米每秒的速度向右平移，纸片EFGH沿PN以1厘米每秒的速度向上平移，当点C与点Q重合时，两张纸片同时停止运动。设平移时间为t秒时（如图②），纸片ABCD扫过的面积为S1，纸片EFGH扫过的面积为S2，AP、PG、GA所围成图形的面积为S（这里规定线段的面积为0，扫过的面积含纸片面积）。解答下列问题： （1）当t=0.5时，PG=＿，PA=＿，此时PA＿PG+GA（填“=”或“≠”） （2）求S与t之间的关系式； （3）请探索是否存在t值（t＞ 0.5）,使S1+S2=4S+5.若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

  6. 有关图形运动问题大体有三种： 点的运动 线的运动 图形的运动

  7. C D B A P P P 如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时间为t秒。 （1）P点在运动过程中 ①动点P到点A、点D的距离AP、PD的长度发生怎样的变化？

  8. C D B A P P P 如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时间为t秒。 ②点P在运动过程中到边AD的距离发生怎样的变化？

  9. C D P B A 如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时间为t秒。 ③由动点P和点A、点D形成的△APD的 形状发生怎样的变化？面积呢？

  10. C D B A P 如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时间为t秒。 ③由动点P和点A、点D形成的△APD的 形状发生怎样的变化？面积呢？

  11. C D B A P 如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时间为t秒。 ③由动点P和点A、点D形成的△APD的 形状发生怎样的变化？面积呢？

  12. C C C C D D D D 4＜t≤6 0≤t≤2 2＜t≤4 B B B B A A A A S= 4t+24 P P P P 如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P，从点A出发，以2cm/秒的速度，沿正方形的边经A-B-C-D到达点D。设运动时间为t秒。 （2）设△APD的面积为S，求S关于t的 函数关系式，并写出t 的取值范围； S=4t S=8

  13. 0 2 4 6 0 0 2 2 4 6 4 6 0 4 6 2 C C C D D D 4＜t≤6 0≤t≤2 2＜t≤4 B B B A A A S= 4t+24 P P P （3）以下能大致反映S与t的函数图象的是（ ） A S=4t S=8

  14. 反思小结 变化的量是什么？ 不变的量是什么？ 你认为解决点的运动问题的关键是什么？

  15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒） （2）当t= ＿ 秒或 ＿ 秒时，MN= AC （1）点A的坐标是 ,点C的坐标是 1 2 m （3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； y :（3）中得到的函数S有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由。 （4） （4，3） C B N A x O M

  16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒） （4，0） （0，3） （1）点A的坐标是 ,点C的坐标是 （0，3） （4，0） y （4，3） B C O A x

  17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒） （2）当t= ＿ 秒或 ＿ 秒时，MN= AC 1 2 m N N M M 2 6 y （4，3） （0,3） B C E （4,0） O A x

  18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒） N N N N M M M M （3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； y B C x O A

  19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒） N M N M N N M N N N N M N N M M M M M M m （3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； y B C O A x

  20. y y N B B C C N M x M x O O A A E y y B B C C N M O O A A x 0≤t≤4 N M x 4＜t≤8

  21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒） 3 8 N 2 S= t M （3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； y 0≤t≤4 B C x O A

  22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）。平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒） 3 8 N 2 E S= t +3t M K （3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； y B C 4＜t≤8 O A x

  23. N E M y y 3 3 8 8 B B C C N 2 2 M S= t +3t O O S= t A A x x （4）: （3）中得到的函数S有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由。 0≤t≤4 4＜t≤8 ； t=4时，S有最大值=6

  24. 如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点。 A G F C （E） （D） 图① （1）求等腰梯形DEFG的面积； （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止。设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF’G’如图② 探究1：在运动过程中，四边形BDG’G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由。 探究2：设在运动过程中△ABC 与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式。 B

  25. 如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点。 A G F C B （E） （D） 图① （1）求等腰梯形DEFG的面积； S梯形DEFG=6

  26. 如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点。 G′ F′ D E （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止。设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF’G’如图② A 探究1：在运动过程中，四边形BDG’G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由。 G F C B 图②

  27. 如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点。 当BD=BG=x=2 时 F G′ 四边形BDG’G是菱形 E D 探究1：在运动过程中，四边形BDG’G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由。 A G C B 图②

  28. 如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点。 G F D E 探究2：设在运动过程中△ABC 与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式。 A C B 图②

  29. 如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点。 G G G G G G G G G G G G G G G F F F F F F F F F F F F F F F D D D D D D D D D D D D D D D E E E E E E E E E E E E E E E 探究2：设在运动过程中△ABC 与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式。 A C B 图②

  30. A A A A ≤x≤ 2 G G G G F F F F 0≤x＜ 2 2 2 2 4 C C C C B B B B D D D D E E E E

  31. 如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点。 时 G F 0≤x＜ 2 2 2x y=6- D E 探究2：设在运动过程中△ABC 与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式。 A H C B 图②

  32. 如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BC=4 2，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点。 ≤x≤ 2 1 y= - +8 G F 4 2 2 4 2 2x x 2 D E 探究2：设在运动过程中△ABC 与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式。 A H C B 图②

  33. 小结 谈一谈你是如何处理图形运动问题的？

  34. 解决图形运动问题 策略是： “以静制动”，把动态问题，变为静态问题,抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。 关键是： 明确运动路径、运动速度、起始点、终点，从而确定自变量的取值范围，画出相应的图形。 找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来。

  35. 作业： 请将你做过的图形运动问题重新归类整理，通过整理你自己有哪些独特见解？

  36. 谢谢大家

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