第四章理性期望效用理论

管理科学与工程学院 第四章理性期望效用理论课程负责人：张所地博士教授

§4 理性期望效用理论 • 教学目的 • 通过本章内容的学习，使学生了解事态体的基本概念及其性质；理解并掌握效用的概念和测定；了解效用函数的定义及构成；理解冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型；培养学生在实际中灵活应用理性期望效用理论的能力。 • 教学重点 • 效用的概念及其测定、冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型、理性期望效用理论的不足之处。 • 教学难点 • 理性期望效用理论在描述模型和规范模型中的应用。

课堂导入 • 期望效用值理论以规范模型（prescriptive or normative model）的形式应用于管理科学特别是管理决策分析中；以预测模型（Predictive or Positivistic Model）的形式应用于金融和经济领域中，以描述性模型（descriptive model）的形式应用于心理学中。由于期望效用值理论的发展，决策（特别是理性决策）理论才得以形成一门独立的学科，综合运用概率论、心理学、思维科学、经济学等跨学科的理论来研究决策和判断问题。

§4.1 事态体及其关系 • 事态体的概念 • 具有两种或两种以上有限个可能结果的方案，称为事态体L，事态体中各可能出现的概率是已知的，设事态体的n个可能结果值为c1,c2 ,…, cn，相应出现的概率值为p1,p2 ,…, pn，并且，则事态体记作。

事态体的比较 • 设c1，c2是事态体L的任意两个结果值， c1和c2有如下的关系： • 若偏好结果值c1，则称c1优于c2 ，记作。 • 若结果值无所偏好，则称c1无差异于c2，记作。 • 若不偏好结果值c1，则称c1不优于c2 ，记作。 • 设两个简单事态体L1，L2具有相同的结果值c1，c2 ，即：，，假设 c1> c2 ，若p1=p2 ，则；p1 >p2 ，则； p1 <p2 ，则。

事态体的基本性质 • 可调概率： • 设事态体，，且，若，则存在 x=p′<p，使得，其中x称为可调概率值。 • 等价确定值和无差异概率 • 设事态体，0<x<1，且，若对于满足优劣关系的任意结果值，必存在x=p(0<p<1)，使得 , 其中结果值称为事态体L的确定当量，或称为等价确定值，p称为关于与的无差异概率。

事态体的基本性质 • 简化性 • 任一事态体无差异于一个简单事态体，设事态体，则必存在一个简单事态体，使得，其中：，任一复合事态体无差异于一个简单事态体，从而也可无差异于一个最简事态体，所以，任一事态体均无差异于某一简单事态体，因此，在决策分析中，比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较相应简单事态体之间的优劣关系，再根据事态体优劣或无差异关系的传递性，得到所讨论的事态体的排序。

§4.2 效用函数的定义和构成 • 效用的概念和测定 • 设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值c，依据决策者的主观愿望和价值取向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用，反映结果值对决策者价值和作用大小的量值称为效用。 • 效用的测定——辨优

效用函数的概念 • 设决策问题的结果值集合，且，，定义在c上的实值函数满足条件：，，存在，使满足无差异关系。存在，如果，当且仅当。存在，且，则：称为结果值集合上的效用函数，并记为。

§4.3 冯诺曼—摩根斯坦期望效用模型 • 公理1（可比性） • 设R为事态体L的集合，对于任意的，则：或或。 • 公理2（传递性） • 对于任意的，若，，则：

公理3（替代性） • 对于任意的及任意的，如，意味着 • 公理4（连续性） • 对于所有，如有，则存在，使得。即：存在，，使得，

基本定理 • 决策者对于事态体集合中的事态体L优先排序，如果满足上述公理1～4，则一定存在这样一个函数u(x)，有且只有的条件下：，u(x)称为效用函数。同时，在u(x)正线性变换的条件下保证决策者的优先顺序不变。

可见，事态体的优先顺序可在给定函数的条件下，计算期望效用值得出，即为效用函数。基本定理所表达的事态体辨优规则叫期望效用值规则。需要指出，期望效用值并不意味着寻求期望效用值的最大值，只是说，决策者如遵循公理1～4就能选择各替代方案中期望效用值最大的方案，并可符合理性的一致性。可见，事态体的优先顺序可在给定函数的条件下，计算期望效用值得出，即为效用函数。基本定理所表达的事态体辨优规则叫期望效用值规则。需要指出，期望效用值并不意味着寻求期望效用值的最大值，只是说，决策者如遵循公理1～4就能选择各替代方案中期望效用值最大的方案，并可符合理性的一致性。

§4.4 效用和风险的关系 • 中立型效用函数 • 设有效用函数u=u(x)，若结果值x1< x2，有，此效用函数称为中立型效用函数。 • 该效用函数表明效用与结果值呈线性关系，说明决策主体对风险持中立态度，或是认为该决策的后果对大局没有重大影响，或是认为该决策可以重复进行从而获得平均意义上的成果，因此，不必对决策的某项不利后果特别关注。

保守型效用函数 • 设有效用函数u=u（x），若结果值x1< x2，有，此效用函数称为保守型效用函数。 • 该效用函数表明随着结果值的增加效用值也递增，但递增速度随着结果值的增加而下降，说明决策主体对亏损十分敏感，大额收益对其吸引力不大，即宁可不赚大钱，也不愿意承担大风险。

冒险型效用函数 • 设有效用函数u=u（x），若结果值x1< x2，有，此效用函数称为冒险型效用函数。 • 该效用函数表明随着结果值的增加效用值也递增，但递增速度随着结果值的增加越来越大，说明决策主体对收益十分关注，而不太顾及风险，敢冒风险，为追求高收益而“孤注一掷”。

应用期望值算子表达有如下关系： （凹，保守型）（线性，中立型）（凸，冒险型）这意味着一个具有凹效用函数特性的决策主体愿用分布效用值去交换一个非随机性的分布后果的效用值。

由上面内容可推出，决策主体总能找到一个后果值，其效用值和分布效用值相等，该后果值即等价确定值CE为： 。则后果期望值和等价确定值之差即为风险的主观价值。（凹，保守型）（线性，中立型）（凸，冒险型）

§4.5 在描述模型中的应用 • 期望效用值理论应用于描述性模型，以描述和解释事物的机理。现以个人或企业的财产、火灾保险为例。 • 设某企业欲将价值为A的厂房设备申报火灾保险。如保险，显然明年要付保险金i元，明年内如果发生火灾，所有损失将全部得到赔偿；如不保险，一旦发生火灾则损失B元，当然B<A。企业管理者面临两种事态体，即保险情况下的，需做出选择。

在判断何种事态体为优的过程中，火灾发生的概率 是个关键因素。 • 假定，按期望收益值的准则进行判断，这时投保的判断式为：即。也即，只要火灾出现的概率大于保险金和火灾损失额之比时，以参加保险为优。 • 然而，实际考察人们的行为并非如此。即使概率小于此数还是愿意保险。其原因可以这样来解释，这是一次性的损失，面临长期辛苦积累的财富可能毁于一旦，人们总力求万无一失，而愿意付出比期望收益值准则算出的保险金要高得多的费用。

用效用值函数来描述上述情况可得到明确的解释，按期望效用值准则有判断式：用效用值函数来描述上述情况可得到明确的解释，按期望效用值准则有判断式：在效用曲线属于稳重型效用曲线的情况下，如下图中曲线所示，其几何形式的表达式为：如按前述期望收益值准则，其效用值函数相当于下图中的直线，则判断式为：

比较以上两式，显然 。这个结果可以解释保险公司的运行机理。投保效用曲线

§4.6 在规范模型中的应用 决策分析框架

决策分析是规范性技术，这就是说，如果你同意它的各种假设、推理程序，那就应接受按决策分析选择出的最优方案。但实际上决策者并不一定接受决策分析的结论。决策分析技术所起的作用犹如决策者的思维“拐杖”，使得决策过程得到数据和定量分析的支持，直感判断容易遗漏的信息有可能系统而清晰地显示在决策者面前。此外，决策树提供了一种“语言”，便于决策者和咨询人员相互沟通意见，进行集体讨论，也便于利用计算机进行人机对话，改善决策。如果决策者掌握了这种技术，即使自己无暇去系统地应用它，也有助于改善他的直感判断质量。决策分析是规范性技术，这就是说，如果你同意它的各种假设、推理程序，那就应接受按决策分析选择出的最优方案。但实际上决策者并不一定接受决策分析的结论。决策分析技术所起的作用犹如决策者的思维“拐杖”，使得决策过程得到数据和定量分析的支持，直感判断容易遗漏的信息有可能系统而清晰地显示在决策者面前。此外，决策树提供了一种“语言”，便于决策者和咨询人员相互沟通意见，进行集体讨论，也便于利用计算机进行人机对话，改善决策。如果决策者掌握了这种技术，即使自己无暇去系统地应用它，也有助于改善他的直感判断质量。

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