LINEÁRNE MODELY STACIONÁRNYCH STOCHASTICKÝCH PROCESOV

1. Lineárny proces môžeme teda vyjadriť v tvare: Xt -  = Zt + 1Zt-1 + 2Zt-2 + … = , kde 0 = 1 Lineárny proces je stacionárny, ak LINEÁRNE MODELY STACIONÁRNYCH STOCHASTICKÝCH PROCESOV Dekompozičné metódy kladú dôraz na prácu so systematickými zložkami časovej rady (trend, sezónna a cyklická zložka). Základným matematickým nástrojom je regresná analýza. Každý stacionárny stochastický proces, ktorý neobsahuje žiadnu systematickú zložku môže byť vyjadrený ako lineárna kombinácia nekorelovaných rovnako rozdelených náhodných premenných s nulovou strednou hodnotou a konštantným rozptylom 2 - Woldova reprezentácia (lineárny proces)

2. Výhody: • Box – Jenkinsove modely sú veľmi flexibilné a rýchlo sa adaptujú na zmeny v charaktere modelovaného procesu • Analýza sa vykonáva systematicky podľa vopred daného kľúča: identifikácia modelu, odhad parametrov, overovanie modelu Nevýhody: • Minimálna dĺžka časového radu - 50 pozorovaní • Ťažká interpretácia výsledného modelu Box – Jenkinsova metodológia: berie za základný prvok analýzy reziduálnu zložku, tvorenú korelovanými alebo závislými náhodnými veličinami.

3. LINEÁRNE MODELY STACIONÁRNYCH ČASOVÝCH RADOV - ARMA (p, q) • Základný predpoklad: • Hodnota náhodnej premennej Xt v čase t závisí len na predchádzajúcich náhodných premenných (deterministická časť) a na náhodných fluktuáciách (stochastická časť) • Závislosť Xt na predchádzajúcich p náhodných premenných Xt-1, …, Xt-p je lineárna V systéme Mathematica ARMAModel[{1, 2, … , p}, {1, 2, … , q}, σ2] ARModel[{1, 2, … , p}, σ2] MAModel[{1, 2, … , q}, σ2] TimeSeries[model, n] Generovanie časového radu daného typu dĺžky n TimeSeries[model, n, {x-p+1, …, x0}] Generovanie časového radu s p počiatočnými hodnotami StationaryQ[model] alebo StationaryQ[{1, 2, … , p}] InvertibleQ[model] alebo InvertibleQ[{1, 2, … , q}]

4. 1 = 0,8 1 = - 0,8 Autoregresný proces prvého rádu AR(1) Pre 1 > 0 (ale | 1 | < 1) (k) exponenciálne klesá k 0 Pre 1 < 0 (ale | 1 | < 1) (k) klesá k 0oscilačne

5. Rozptyl D(Xt) = Autokorelačná funkcia Podmienený rozptyl D(Xt|Xt-1,Xt-2, …, Xt-p) = je konštantný v čase Autoregresný proces rádu p AR(p) Xt = 1 Xt – 1 + 2 Xt – 2 + ... + p Xt – p + Zt AR(p) je vždy invertibilný, ale stacionárny je len vtedy, ak všetky korene (x) ležia mimo jednotkového kruhu. Stredná hodnota E(Xt) = 0 Parciálna autokorelačná funkcia k,k = 0 pre k > p. Podmienená stredná hodnota E(Xt|Xt-1,Xt-2, …, Xt-p) = 1 Xt-1 + … + p Xt-p je premenlivá v čase.

6. Autoregresný proces rádu p AR(p) Pre reálnekorene rovnice (x) = 0 je ACF zložená z exponenciálne klesajúcich kriviek Pre komplexné korene rovnice (x) = 0 je ACF zložená z exponenciálne klesajúcich sínusoviek

7. Autokorelačná funkcia Proces kĺzavých priemerov rádu q: MA(q) Xt = Zt + 1 Zt – 1 + 2 Zt – 2 + ... + p Zt – p MA(q) je vždy stacionárny. Invertibilný je, len ak všetky korene (x) ležia mimo jednotkového kruhu. Parciálna autokorelačná funkcia k,k  0 pre všetky k.

8. Proces kĺzavých priemerov rádu q: MA(q) Pre reálnekorene rovnice (x) = 0 je PACF zložená z exponenciálne klesajúcich kriviek Pre komplexné korene rovnice (x) = 0 je PACF zložená z exponenciálne klesajúcich sínusoviek

9. Určenie rádu AR a MA procesov AR(p):k k = 0  k > p (k)  0  k MA(q):k k 0  k (k)= 0  k > q

10. AR(1): Xt = 0.7 Xt-1 + Zt AR(1): Xt = -0.7 Xt-1 + Zt

11. MA(1): Xt = Zt+ 0.7 Zt-1 MA(1): Xt = Zt-0.7 Zt-1

12. AR(2): Xt = 0.9 Xt-1 – 0.8 Xt-2 + Zt MA(2): Xt = Zt + 0.2 Zt-1 – 1.2 Zt-2

13. ARMA(2, 2): Xt – 0.9 Xt-1 + 0.3 Xt-2 = Zt + 0.2 Zt-1 – 1.2 Zt-2 ARMA(1, 2): Xt – 0.9 Xt-1 = Zt + 0.2 Zt-1 – 1.2 Zt-2

14. a) exponenciálne klesajúcich geometrických postupností b) sínusoid s geometricky klesajúcimi amplitúdami Označme symbolom U krivku v tvare lineárnych kombinácií:

15. Tvar autokorelačnej a parciálnej autokorelačnej funkcie procesov AR(p), MA(q), ARMA(p, q)

16. Príklad: Uvažujme časový rad dĺžky n = 804 (reziduá priemerných mesačných prietokov rieky Poprad bez posledných 48 dát, ktoré použijeme ako skúšobnú vzorku pre overenie predpovedí), pre ktorý sú odhady rk prvých 10 hodnôt autokorelačnej funkcie (k) (k > 0) nasledovné: Predpokladajme najprv, že (k) = 0 pre k > 0 (časový rad je tvorený nekorelovanými náhodnými premennými a k0 = 0). Z grafu vidíme, že r1 = 0.30 je omnoho väčšia hodnota než dvojnásobok vypočítanej hodnoty 2 * 0.035 = 0.07, teda hypotézu k0 = 0 zamietame na hladine významnosti 0.05

17. Predpokladajme teraz, že k0 = 1. Z grafu vidíme, že aj r2 = 0. 11 je väčšia hodnota než dvojnásobok vypočítanej hodnoty 2 * 0.038 = 0.076, teda hypotézu k0 = 1 zamietame na hladine významnosti 0.05

18. Predpokladajme teraz, že k0 = 2. V tomto prípade už odhady vyhovujú našej hypotéze. Teda: (1) 0, (2) 0, (k) = 0 pre k > 2.

19. Príklad: Uvažujme časový rad s dĺžkou n = 804, pre ktorú sú odhady rkk prvých 10 hodnôt parciálnej korelačnej funkcie kknasledovné: Z grafu vidíme, že r11 = 0.30 je omnoho väčšia hodnota než dvojnásobok vypočítanej hodnoty, ale |rkk| 0.07, k > 1.Teda11 0, kk = 0, k > 1.