Clases 4 Pruebas de Hipótesis

1. Clases 4 Pruebas de Hipótesis Curso de Metodología de la Investigación Profesor Manuel Lobos González Año 2011

2. PRUEBA CHI CUADRADO • Sean X e Y dos variables categóricas. X con r categorías e Y con c categorías. Podemos utilizar una tabulación cruzada entre las variables para identificar la relación que existe entre ambas. • En este caso la tabulación cruzada entre X e Y tendrá r filas y c columnas. • Las respuestas para (X, Y) pueden ser pensadas como provenientes de alguna población tal que se pueden definir probabilidades para cada celda de la tabla. • Cuando las celdas de una tabla contienen las frecuencias de respuestas, la tabla se denomina de contingencia.

3. PRUEBA CHI CUADRADO • Una de las principales preguntas que uno quiere responder cuando analiza la asociación entre dos variables es si existe alguna relación entre ellas o lo que muestra la tabla es simple error muestral. • Para responder a esta pregunta, se utiliza un test de hipótesis conocido como el test Chi-cuadrado de Pearson. La hipótesis nula del test es que las dos variables analizadas son independientes. La hipótesis alternativa es que las variables no son independientes, es decir que existe una relación entre las dos variables.

4. PRUEBA CHI CUADRADO • Ejemplo: • La siguiente tabla de contingencia muestra la tabulación cruzada de la variable Cantidad de libros en Biblioteca (dividido en tres categorías, menos de 2000; entre 2000 y 4000 y más de 4000) y la dependencia del colegio (dividida en tres categorías, Municipal, Particular Subvencionado y Particular Pagado).

5. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación

6. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • Las entradas de la tabla representan el número de colegios en la muestra con cada combinación de cantidad de libros en la biblioteca y dependencia del colegio. Por ejemplo, 45 colegios particulares pagados tienen menos de 2000 libros. • El test Chi-cuadrado de Pearson se basa en encontrar cual hubiera sido el valor de cada entrada si las variables fueran independientes. Es decir el valor esperado de cada celda de la tabla si las variables cantidad de libros en la biblioteca y dependencia del colegio son independientes.

7. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • Si cantidad de libros en la biblioteca y dependencia del colegio son independientes, la probabilidad del evento conjunto "A1: tener menos de 2000 libros" y "B1: dependencia particular pagada" es el producto de esas dos probabilidades: • Pr(A1 y B1) = Pr(A1)*Pr(B1) • Pr(A1) = A1/A = 202/688, • Pr(B1) = B1/B = 200/688 • Donde A y B son las frecuencias totales de los eventos.

8. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • Por lo tanto: • Pr(A1 y B1) = Pr(A1)*Pr(B1) = 202*200/(688*688) = 0.0854 • El número esperado en la entrada A1B1 es entonces: • N* Pr(A1 y B1) = 688*0.0854 = 58,72

9. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • En general la fórmula del valor esperado es: • Eij = (NAi*NBj)/N. • Eij = número esperado • NAi= número de elementos en la categoría Ai • NBi= número de elementos en la categoría Bi • Para A1B1 el número esperado es: • E11 = (202*200)/688 = 58,72

10. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • Este proceso se debe repetir para cada una de las entradas de la tabla. Una vez hecho esto el estadístico Chi-cuadrado se calcula con la siguiente fórmula: • r = número de categorías de la variable en las filas • c = número de categorías de la variable en las columnas • Oij = número observado en entrada ij • Eij = número esperado en la entrada ij • Este estadístico Chi-cuadrado tiene (r-1)*(c-1) grados de libertad.

11. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • En nuestro ejemplo hay (3-1)*(3-1) = 4 grados de libertad. Realizando todos los cálculos con la tabla del ejemplo, el estadístico da 27,389. • Se debe comparar este número con el valor crítico de la distribución Chi-cuadrado con 4 grados de libertad a un nivel de significación estadística del 5%

12. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • El valor crítico de la distribución Chi-cuadrado con 4 grados de libertad a un nivel de significación estadística del 5% el valor crítico correspondiente es 9,48. Como 27,389 > 9,48 se rechaza la hipótesis nula. Es decir, las variables no son independientes.

13. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación Limitaciones La muestra de tamaño n debe ser suficientemente grande, de modo que ninguna de las frecuencias esperadas Eij sea menor que 1 y no más del 20 % de los mismos sea menor que 5.

14. Ejemplo PRUEBA CHI CUADRADO • Considere un estudio sobre consumo que esta interesado en investigar las preferencias de las familias por diferentes Tipos de colegios. • A priori, uno pensaría que sería más probable que familias más numerosas eligieran colegios municipales o subvencionados y que familias con menos miembros optaran por colegio particulares pagados.

15. Ejemplo PRUEBA CHI CUADRADO • Supongamosqueparainvestigarestarelación, el investigadortomaunamuestraaleatoria de tamaño n=300 de todasaquellasfamiliasquematricularon a sushijos en lasescuelas de unaregión. • La siguientetablaprovee la clasificación de los 300 datos:

16. PRUEBA CHI CUADRADO EJEMPLO

17. Ejemplo PRUEBA CHI CUADRADO • Nuestra tarea es determinar si el tamaño de la familia afecta la decisión del tipo de colegio. • La hipótesis nula es que las variables son independientes (esto es, no hay relación entre tamaño familiar y la elección del colegio); la hipótesis alternativa es que las variables no son independientes.

18. Ejemplo PRUEBA CHI CUADRADO • Trabajemos con un nivel de confianza del 95% y calculemos el estadístico de Pearson. • Para esto asignemos las siguientes letras a los eventos de la tabla: • A1 Dependencia particular pagada • A2 Dependencia particular subvencionada • A3 Dependencia municipal

19. Ejemplo PRUEBA CHI CUADRADO • B1 Familia de 2 a 3 miembros • B2 Familia de 4 a 5 miembros • B3 Familia de más de 5 miembros • Sabemos que el número esperado de observaciones que se esperarían en la celda (Ai, Bj) si las variables fueran independientes esta definido por: • Eij = (NAi*NBj)/N, por lo tanto:

20. Ejemplo PRUEBA CHI CUADRADO 70 40 300 9.33 • E11 = ( NA1 * NB1 ) / N = • E12 = ( NA1 * NB2 ) / N = • E13 = ( NA1 * NB3 ) / N = • E21 = ( NA2 * NB1 ) / N = • E22 = ( NA2 * NB2 ) / N = • E23 = ( NA2 * NB3 ) / N = • E31 = ( NA3 * NB1 ) / N = • E32 = ( NA3 * NB2 ) / N = • E33 = ( NA3 * NB3 ) / N = 70 140 300 32.67 70 120 300 28 40 300 16.67 125 300 58.33 125 140 50 125 120 300 14 105 40 300 49 105 140 300 42 105 120 300

21. Ejemplo PRUEBA CHI CUADRADO • La fórmula de cálculo del estadístico viene dada por

22. Ejemplo PRUEBA CHI CUADRADO • El valor crítico desde una tabla Chi-cuadrado con 4 grados de libertad y un margen de error del 5% es 9,488 • Como el valor del estadístico de Pearson 58.21 es mayor al valor crítico de la tabla se rechaza la hipótesis nula. • Por lo tanto, podemos afirmar que no existe independencia entre el tamaño de la familia y la elección del tipo de colegio.

23. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • El estadístico de Pearson nos dice si dos variables son independientes una de otra pero no nos dice nada acerca de la naturaleza de la relación. • Esto es, no sabemos cuan fuerte es la asociación entre las variables analizadas. • Para medir el grado de relación entre las variables se utiliza el denominado Coeficiente de Contingencia (C).

24. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • El coeficiente de contingencia se calcula fácilmente desde el estadístico de Pearson: • donde n es el tamaño muestral.

25. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • Del ejemplo anterior sabemos que el número de miembros que tenga la familia afecta la decisión de la elección del colegio, pero esa es solamente una parte del análisis. En particular, cuál es el grado de relación entre las dos variables?

26. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • ¿Este valor de 0.403 indica una relación fuerte entre las variables? • Para poder responder esta pregunta necesitamos saber los límites de variación de C. • Cuando no hay relación entre las variables el coeficiente C = 0. El valor máximo de C está dado por

27. PRUEBA CHI CUADRADO Tablas de Contingencia y Medidas de Asociación • En nuestro caso: • Entonces: El valor calculado se encuentra más o menos en la mitad entre el valor mínimo y máximo de C por lo que uno puede afirmar que existe una relación moderada entre el tamaño de la familia y la elección del tipo de colegio.