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Chapter 05. 함 수

학습목표 • 함수의 개념 파악 • 단사함수, 전사함수, 전단사함수를 통한 함수의 성질 이해 • 합성함수 만들기 • 항등함수, 역함수, 상수함수, 특성함수, 바닥함수, 천정함수 등 살펴보기

Section 01. 기본 개념 • [정의1] • 함수(function) • 공집합이 아닌 두 개의 집합 X, Y 가 있을 때 집합 X 로부터 집합 Y 로의 함수 f 는 집합 X의 각각의 원소에 집합 Y 의 원소를 단 하나씩만 대응시킨 것 • 집합 X 로부터 집합 Y 로의 함수 f • f : X→Y로 나타냄 • 집합 X 에서 집합 Y로의 사상(mapping) • 집합 X 는 함수 f 의 정의역(domain): dom(f ) • 집합 Y 는 함수 f 의 공역(codomain): codom(f )

기본 개념(계속) • [예제01] 다음 그림에서 나타내는 관계가 함수인지 아닌지 판별하여라.

기본 개념(계속) • [예제03] 다음 f 가 x∈R 에 대하여 R 로부터 R 로의 함수인지를 판별 하여라. 함수가 아닌 것은 함수가 되도록 재정의하라. (1) (2)

기본 개념(계속) • [정의2] • 함수 f : X→Y 일 때 집합 X 의 원소 x 가 집합 Y 의 원소 y에 대응된다면 f (x)=y 로 나타냄 • y는 x의 상(image, value) • x 는 y 의 원상(pre-image) • 치역(range) • X 의 원소에 대응되는 모든 상의 집합: range(f ) • range(f )⊆Y

기본 개념(계속) • 집합 X 로부터 집합 Y 로 사상하는 함수 • 입력 x 에 대한 출력 y

기본 개념(계속) • [예제05] 두 개의 집합 X={a, b, c, d}, Y={1, 2, 3, 4}일 때 다음의 관 계가 함수인지 아닌지 판별하고, 함수일 경우 정의역, 공역, 치역을 구하여라. (1){(a,1),(b,2),(c,3)} (2) {(a, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 4)} (3) {(x, y)| x∈X, y∈Y, y=3} [풀이] (1) 함수가 아니다. (2) 함수며, 정의역은 {a, b, c, d}, 공역은 {1, 2, 3, 4}, 치역은 {1, 2, 4}다. (3) 함수며, 정의역은 {a, b, c, d}, 공역은 {1, 2, 3, 4}, 치역은 {3}이다.

기본 개념(계속) • [예제08] 정의역은 다음과 같고 공역은 ASCII 코드값 전체라고 할 때 치역을 구하여라. ‘A’의 ASCII 코드값은 65다. (1) {K, O, R, E, A} (2) {K, o, r, e, a} [풀이] (1) {65, 69, 75, 79, 82} (2) {75, 97, 101, 111, 114}

기본 개념(계속) • [정의3] • 두 함수 f : X→R 와 g : Y→R 가 있을 때 f 와 g 의 합(sum)과 곱(product): f + g 와 f g • (f +g)(x)=f (x)+g(x) • (f g)(x)=f (x)g(x) • dom(f +g)=dom(fg)=dom(f ) ∩dom(g)

기본 개념(계속) • [예제10] 다음 두 함수의 합과 곱에 대한 정의역을 구하여라. dom(f)=(-∞, ∞) 일 때 f (x)=x 2 dom(g)=[2, ∞)일 때 [풀이] dom(f )∩dom(g)=[2, ∞)이므로 f(x)와 g(x)는 x≥2일 때 정의된다. 즉, dom(f+g)=dom(fg)=[2, ∞)이다.

Section 02. 함수의 성질 • [정의4] 함수 f : X→Y가 있을 때 • 단사함수(injection, one-to-one function) • x1, x2X 에 대해 f (x1)≠f (x2)이면 x1 x2일 때의 함수 f • x1, x2∈X, f (x1)≠f (x2)→x1 x2 • 전사함수(surjection, onto function) • yY 에 대해 f(x)=y 인 원소 xX 가 적어도 하나 존 재할 때의 함수 f • y∈Y, x∈Xf(x)=y • 전단사함수(bijection, one-to-one correspondence) • 단사함수고 동시에 전사함수인 함수 f

함수의 성질(계속) • 단사함수, 전사함수, 전단사함수 • 유한집합 X, Y 에 대하여 함수 f : X→Y 일 때 • 함수 f 가 단사함수면 |X|≤|Y|다. • 함수 f 가 전사함수면 |X|≥|Y|다. • 함수 f 가 전단사함수면 |X|=|Y|다.

함수의 성질(계속) • [예제14] 다음 함수가 단사함수 또는 전사함수인지 전단사함수인지를 판별하여라. (1) f : N→Z 일 때 f(x)=2x+3, x∈N (2) f : R→R 일 때 f(x)=2x+3, x∈R (3) f : Z→Z 일 때 f(x)=x2, x∈Z (4) f : N→Z 일 때 f(x)=x2, x∈Z (5) f : Z-{0}→N일 때 f(x)=|x|, x∈Z-{0} [풀이] • 단사함수 (2) 전단사함수 (3) 단사함수도 전사함수도 아님 (4) 단사함수 (5) 전사함수

함수의 성질(계속) • 해시함수(hash function) • 나머지 연산자(modulus operator)와 관련된 함수 • 데이터베이스 저장이나 검색에 적용 • 해시 테이블(hash table)에서 키 값을 주소로 변환하는 데 사용되는 함수 • 해싱(hashing)

함수의 성질(계속) • [예제17] 데이터들의 키 값의 집합 K 에서 해시 테이블의 주소 집합 A 로 가는 해시함수 h : K→A 가 xX 에 대하여 h(x)=x mod 10 일 때 다음의 값을 구하여라. (1) h(46) (2) h(251) (3) h(3256) [풀이] (1) h(46)=46 mod 10=6 (2) h(251)=251 mod 10=1 (3) h(3256)=3256 mod 10=6

Section 03. 합성함수 • [정의5] • 합성함수(composite function) • 함수 f : X→Y 와 함수 g : Y→Z 에 대하여 집합 X 에서 집합 Z 로의 함수 • g ◦ f : X→Z 로 나타냄 • 합성함수 g ◦ f 는 (g ◦ f)(x)=g(f(x)), x∈X 를 만족

합성함수(계속) • [예제19] 두 함수 f : R→R, g : R→R 에서 f(x)=2x+1, g(x)=x2 이라고 할 때 (g ◦ f )(x)와 (f ◦ g)(x)를 구하고, 두 값이 같은지 판별 하여라.

합성함수(계속) • [정리01] 세 함수 f : W→X, g : X→Y, h : Y→Z 일 때 합성함수에 대하여 다음과 같은 결합법칙이 성립한다. h ◦ (g ◦ f)=(h ◦ g) ◦ f • [정리02] 두 함수 f : X→Y, g : Y→Z 일 때 (1) f 와 g 가 단사함수면 g ◦ f 도 단사함수다. (2) f 와 g 가 전사함수면 g ◦ f 도 전사함수다. (3) f 와 g 가 전단사함수면 g ◦ f 도 전단사함수다.

Section 04. 여러 가지 함수 • [정의6] • 항등함수(identity function) • 집합 X 에 대한 함수 f : X→X 가 모든 x∈X 에 대하여 f (x)=x 일 때의 f • IX 로 나타냄 • x∈X, IX(x)=x • [예제22] 집합 X={-1, 0, 1}일 때 모든 x∈X 에 대한 f(x)=x3 은 항등함 수인가?

여러 가지 함수(계속) • [정의7] • 역함수(inverse function) • 전단사함수 f : X→Y 에 대하여 Y 에서 X 로의 역관계가 존재할 경우 • f -1 : Y→X 로 나타냄 • 모든 x 와 y 가 x∈X, y∈Y 이고 f(x)=y 일 때 f -1 (y)=x

여러 가지 함수(계속) • 가역함수(invertible function) • 역함수가 존재하는 전단사함수 • [예제25] X={1, 2, 3}에서 Y={x, y, z}로의 함수 f 가 f(1)=z, f(2)=x, f(3)=y 일 때 이 함수는 가역함수인가? 만일 가역함수라면 그 역함수를 구하여라. [풀이] 함수 f 는 전단사함수므로 가역함수다. 역함수는 f-1(z)=1, f-1(x)=2, f-1(y)=3이다.

여러 가지 함수(계속) • [정리03] 전단사함수 f : X→Y 가 있을 때 f-1 ◦ f = iX 와 f ◦ f-1 = iY 가 성립한다. • [정의8] • 상수함수(constant function) • 함수 f : X→Y 에서 집합 X 의 모든 원소가 집합 Y 의 하나의 원소에만 대응할 때의 함수 f • x∈X, y∈Ysuch thatf(x)=y

여러 가지 함수(계속) • [예제26] 함수 f : N→{1, 2, 5, 7}가 있을 때 N의 모든 원소 x에 대하여 f(x)=5라면 이 함수는 상수함수인가? [풀이] 정의역에 있는 모든 원소는 f(1)=5, f(2)=5, f(3)=5,과 같 이 공변역에 있는 원소 5에만 대응하므로 상수함수다.

여러 가지 함수(계속) • [정의9] • 특성함수(characteristic function) • 전체집합 U의 임의의 부분집합 S에 대하여 함수 fS : U→{0, 1}를 다음과 같이 정의할 때의 함수 fS

여러 가지 함수(계속) • [예제27] 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}일 때 부분집합 A={2, 3, 4, 5, 6}에 대한 특성함수를 구하고, 화살도표로 나타내어라. [풀이] 전체집합 U 의 부분집합 A 에 대한 특성함수는 다음과 같다.

여러 가지 함수(계속) • [정의10] • 바닥함수(floor function) • x∈R 에 대해 x 와 같거나 x 보다 작은 수 중에서 x 에 가장 가까운 정수를 대응시키는 함수 • 와 같이 나타냄 • 최대정수함수(greatest integer function) • 천정함수(ceiling function) • x 와 같거나 x 보다 큰 수 중에서 x 에 가장 가까운 정수를 대응시키는 함수 • 와 같이 나타냄 • 최소정수함수(least integer function)

여러 가지 함수(계속) • [예제28] 다음의 값을 구하여라. [풀이]

여러 가지 함수(계속) • [정리04] x∈R 이고 n∈N 일 때 이다. [증명] k= 이고 0≤a<1이라고 하면 실수 x=k+a이다. 그러면 x+n=k+a+n=(k+n)+a이고, 0≤a<1이므로 =n+k= +n이다.

여러 가지 함수(계속) • [예제31] [정리04]를 이용하여 다음 계산을 하여라. [풀이]

여러 가지 함수(계속) • [예제33] x∈Z 일 때 다음을 증명하여라. [증명]

여러 가지 함수(계속) • [정의11] • 지수함수(exponential function) • 함수 f : R→R+ 일 때 a∈R+, a≠1, x∈R 에 대하여 f(x)=ax와 같이 정의되는 함수 • 베이스(base, 밑): a • 지수함수 f(x)=2x

여러 가지 함수(계속) • [정의12] • 베이스 a 에 대한 y 의 로그(logarithm) • a∈R+, a≠1, x, y∈R 에 대해 y=ax 일 때의 x • logay 라고 나타냄 • y=ax 와 loga y=x 는 동치 • 로그함수(logarithmic function) • 함수 f : R+→R일 때 f(x)=logax 와 같이 정의되는 함수 • 로그함수 f(x)=lg x

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