Resumen de la Clase Anterior

1. Resumen de la Clase Anterior • Dimensionalidad: Numero de variables “independientes” de un espacio • Coherencia: Objetivo general de la física como un programa de búsqueda de coherencia (de correlación, de causalidad, de interacción) • Espacios unidimensionales: El tiempo y la línea espacial. • Medida en espacios unidimensionales: • Conteo de eventos periódicos (numero de oscilaciones, grano). • Probabilidad de extinción (exponenciales) • Concatenación de medidas (escaleo) • Medidas Relativas y Medidas absolutas (el interferómetro) • Reglas lineales (grano constante) o logarítmicas.

2. Programa de la Clase de Hoy • Dimensionalidad: Otras propiedades fundamentales de un espacio: METRICA y CARDINALIDAD • Coherencia: Funciones, como objetos que relacionan variables aparentemente independientes. • Espacios unidimensionales: Relación entre el tiempo y el espacio. Movimiento. El tiempo como referencia. • Medida en espacios unidimensionales: • Conteo de eventos periódicos (numero de oscilaciones, grano) y probabilidad de extinción (exponenciales) • Exponenciales y oscilaciones como formas canónicos del movimiento. Convergencia y equilibrio.

3. PLAN DE RUTA • Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos. • Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura) • Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes. • Espacios métricos: Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

4. Funciones y Cardinalidad • Una función relaciona elementos entre dos conjuntos (A y B) • La función es inyectiva si dos elementos de A no van a parar a un mismo elemento de B: #(A) ≤ #(B) (A puede inyectarse en B) • La función es sobreyectiva si su imagen (todos los elementos que son función de alguien) corresponde a #(A) ≥ #(B) (A puede llenar B) • La función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Es decir si existe un mapeo “uno a uno” #(A) = #(B) (A es “equivalente” a B) • UNA PRIMER MEDIDA DE COHERENCIA ENTRE DOS ESPACIOS DETERMINADA POR UNA FUNCION ES LA DE CARDINALIDAD Sobreyectiva, no inyectiva Inyectiva, no sobreyectiva No sobreyectiva no inyectiva Biyectiva

5. Cardinalidad en Conjuntos Infinitos En análisis y en la gran parte de este curso trabajaremos con conjuntos continuos (y no discretos como en el ejemplo anterior) e infinitos. Algunos espacios infinitos relevantes (de dimensión 1) son: La Recta Real El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 1 2 3 4 5 6 7 ∞ 0 1 … … Discreto, No acotado Continuo No Acotado Continuo Acotado Continuo Acotado Sin Bordes

6. 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 ... 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 ... 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ... 4/1 4/2 4/3 4/4 … 5/1 5/2 5/3 … 6/1 6/2 … 7/1 ... Son todos los infinitos igual de grandes? I. Los racionales NO SON MAS que los naturales: Q= NxN

7. Son todos los infinitos igual de grandes? Tal vez simplemente los infinitos son todos infinitos y, por lo tanto, igual de grandes. Sin embargo, hay menos naturales que puntos en la recta? • r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... • r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ... • r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... • r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ... • r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ... • r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... • r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ... • DEMOSTRACION DE CANTOR • Suponemos que el intervalo [0,1] es infinito numerable. • Podríamos elaborar una secuencia (suryectiva) de los números, ( r1, r2, r3, ... ) • Los reales entre 0 y 1 pueden ser representados escribiendo sus decimales.

8. Son todos los infinitos igual de grandes? I. Los puntos en I1 NO SON CONTABLES (i.e. son “mas” que los naturales) • r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... • r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ... • r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... • r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ... • r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ... • r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... • r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ... • DEMOSTRACION DE CANTOR • Dada CUALQUIER función r, podemos construir un numero N(r) que no esté en la imagen de R, eligiendo para cada decimal un valor distinto al de la diagonal. • Por ejemplo el numero 0,7256389… • Siendo la Diagonal: 0,5140235 …

9. PLAN DE RUTA • Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos. • Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura) • Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes. • Espacios métricos: Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

10. Funciones y Dimensionalidad • Formalmente la Cardinalidad de R y RN (n>1) es la misma y por lo tanto puede definirse una biyección entre ellas. • En la practica, las funciones de Rm en Rn suelen presentar cierta característica (por la conservación de la dimensionalidad) según si m < n, m = n o m > n. Curvas que llenan el plano (Peano, Hilbert) Funciones de R en R2: UN MARCO CONCEPTUAL UTIL PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DE INMERSION. f: t [x( t) , y(t)] A cada tiempo corresponde un punto en el plano. El conjunto de estos puntos (la imagen de la función, o trayectoria) define una curva que corresponde a la inmersión de t (que puede pertenecer a I1 o a R1) en el plano.

11. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectorias Notar que en la trayectoria (inmersión) del tiempo, se ha perdido la noción de temporalidad. No esta descrito en que orden temporal se recorrió esta trayectoria. El ejemplo canónico de tiro oblicuo: Función de Movimiento Tiempo (ms) Espacio,R2, (mm) 0 1000

12. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectorias Para resolver esto es necesario incorporar otra dimension, ya que la funcion corresponde a puntos en el espacio de [t, x(t), y(t)] es decir en R3. La tercera dimension puede representarse en una escala de color. El ejemplo canónico de tiro oblicuo: Función de Movimiento Tiempo (ms) Espacio,R3, (t,mm,mm) 0 1000

13. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectorias Una representacion equivalente pero menos inteligible. Relevancia de encontrar buenas representaciones: El ejemplo canónico de tiro oblicuo: Función de Movimiento Tiempo (ms) Espacio,R3, (t,mm,mm) 0 1000

14. Funciones y Dimensionalidad (II) Hemos visto hasta ahora: Funciones de R en R2: UN MARCO CONCEPTUAL UTIL PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DE INMERSION (curvas en R3). f: t [x( t) , y(t)] Funciones de R2 en R: DOS MARCO CONCEPTUALES UTILES PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES SON: MAPA ESCALAR (temperatura, altura) representadas como superficies en R3 y PROYECCIONES (ej angulo) f:[x, y] T

15. Mapas Escalares: La anatomía de la función abs(xy) A lo largo de curvas En coordenadas polares Imagenes del mapa

16. PLAN DE RUTA • Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos. • Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura) • Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes. • Espacios métricos: Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

17. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito En este ejemplo, la trayectoria es acotada porque para algún tiempo la partícula toca el piso a partir del cual cambia la física del problema: En este caso concreto la partícula se pega al piso. En muchos problemas es de interés estudiar el comportamiento para tiempos infinitos (tiempo no acotado o por lo menos tiempos “muy largos”. Una primer pregunta relevante es si la trayectoria correspondiente a este tiempo infinito es o no acotada. En el ejemplo del pingüino, en ausencia de piso, la trayectoria diverge (aunque en realidad, sin piso tampoco hay gravedad) Existen trayectorias acotadas para tiempos infinitos? El ejemplo canónico de tiro oblicuo:

18. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito Primer aproximación (equivocada) al problema: Monotonía. Si una función siempre crece o decrece entonces la trayectoria diverge (es decir no esta acotada) Contraejemplo x(t)=e-(t/150) Es estrictamente decreciente pero siempre positiva. Como se vería el grafico de esta función si se grafica los x correspondientes a los tiempos de 1000 a 2000 segundos?

19. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito Contraejemplo x(t)=e-(t/150) Es estrictamente decreciente pero siempre positiva. Se ve EXACTAMENTE IGUAL. La función e-(t/150) puede “leerse” como la concatenación de la siguiente operación: cada 150 segundos, divido por e. Nótese “la razón” de su invarianza en el tiempo.

20. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito Segunda aproximación (correcta) al problema: Extremos. Si el movimiento de una partícula esta dado por funciones [x(t),y(t)] la trayectoria esta acotada si estas funciones tienen máximo y mínimo (no infinito) es decir, si la función toma valores acotados de manera independiente de los valores de t. Algunas funciones acotadas son: Seno, Coseno, Exponencial(-t), 1/(1+t)

21. Posibles estados estacionarios: oscilaciones y puntos fijos Oscilan (y entre una y otra cambia el periodo) Convergen (y entre una y otra cambia el ritmo de convergencia)

22. Oscilaciones: X=[cos(t),sen(t)] Convergencia a un punto fijo: X= [e-(t/150), e-(t/150)] Las representaciones mas informativas.

23. Bases del Movimiento • Los puntos fijos y las oscilaciones son dos ingredientes canónicos del movimiento. • El estudio del movimiento (y muchos otros problemas dinámicos, es decir, que evolucionan en el tiempo) se descomponen en el estudio de estados transitorios y estados estacionarios. • Los estados estacionarios – como las oscilaciones o los puntos fijos- presentan cierta invarianza temporal. Oscilaciones y puntos fijos son además soluciones “ordenadas” y acotadas. • El movimiento de una bola en un billar es un ejemplo de solución estacionaria “no ordenada”. La posición de una galaxia es una solución (tal vez) estacionaria, ordenada y (tal vez) no acotada: • En la practica, uno suele ver (medir) los estados estacionarios (o de equilibrio).

24. PLAN DE RUTA • Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos. • Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura) • Formas canónicas del movimiento: Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes. • Espacios métricos: Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

25. Otras propiedades del espacio: Métrica El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales y 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 0 1 x … D =abs(m-n) Dist(x2,x1) D = abs(x2-x1) D=abs(θ1 – θ2) D(a,a)=0; D(a,b) > 0 (a distinto de b) D(a,b) = D(b,a) D(a,c) < D(a,b) + D(b,c) D es cualquier función que satisface:

26. Dada la métrica, existen vecindades El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales y 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 0 1 x … Dist(3,3) < 2 Dist(0.5) < 0.25 Dist(π) < π/2 dist(5) < 3 De lo abstracto a lo concreto. La métrica determina exactamente la posibilidad de medir (de establecer distancias y por ende similitudes y diferencias) entre los elementos del espacio. Es un problema importante de las ciencias naturales (objeto de investigación moderna) establecer una “buena” métrica para sus espacios.

27. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales y 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 0 1 x … Dist(3,3) < 0.5 Dist(0.5) < 0.05 Dist(π) < π/5 dist(5) < 0.5 Un mundo sin vecinos (a distancia arbitrariamente pequeña) Mundos con vecinos arbitrariamente cerca  SE PUEDE HACER ANALISIS (Derivar … Integrar …)

28. Propiedades emergentes de la métrica: 2) Existencia de Bordes El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales y 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 0 1 x … Dist(x) < 0.0001 Dist(0) < 0.00… Dist(x) < 0.0… dist(1) < 0.00… Un punto que no tiene (dentro del conjunto, ninguna vecindad, por pequenia que sea) Todo punto contiene una vecindad

29. Métricas en Espacios no Euclideos, funciones, imágenes, genes y neuronas En general, dadas dos observaciones, un problema típico con el que uno se encuentra es decir si son iguales, si pertenecen a una misma categoría, si se parecen poco o mucho, si a su vez se asemejan mas que a un tercera observación, cuanto varia a medida que uno la repite muchas veces y si uno manipula el sistema. En fin, uno quiere establecer una DISTANCIA entre distintas observaciones. Algunos ejemplos que veremos son distancias en respuestas de neuronas (trenes de espigas) y entre genes.

30. Distancia en el Espacio de Funciones Distancia entre una función lineal y una sinusoidal, marcada por el área gris. Una de las distancias mas simples en el espacio de funciones, dada por la suma de la distancia euclidea en cada punto de la función.

31. Distancia en el Espacio de Funciones Esta es la idea de cuadrados mínimos, y permite ajustar una función a una serie de datos. La función que “mejor” ajusta los datos (de una familia de funciones) es la que resulta más cercana a los datos originales.

32. Distancia en el Espacio de Funciones Longitud promedio de los segmentos definen la distancia a la curva

33. Distancia en el Espacio de Funciones Longitud promedio de los segmentos definen la distancia a la curva

34. Distancia en el Espacio de Imágenes (Dinámica del trafico de proteínas en la célula) P E R T I M Medida analoga a la distancia entre funciones, la suma del valor absoluto de la luminosidad de todos los pixels. La importancia de poder cuantificar para establecer modelos correctos. PER y TIM entran juntos al núcleo o por separado? P E R T I M Meyer et al (2005)

35. Un problema con la distancia “euclidea” en el espacio de imágenes (y de caras) El problema de una distancia dada por la suma de la diferencia de luminosidad a través de todos los pixels de la imagen es que distintos ángulos de vista, o oclusiones dan imágenes muy distintas correspondientes al mismo objeto. Una descomposición mas inteligente del espacio de caras: una base de “caras fundamentales” o auto-caras.

36. La dimensionalidad del espacio de caras, cuantos numero necesito dar para decir de quien hablo? Imagen Original Detección de rasgos por comparación a un marco de referencia Descripción de una cara en el espacio de rasgos (mucho mas eficiente que el espacio de pixels)

37. Midiendo distancias entre respuestas neuronales • Supongamos que queremos saber que codifica una neurona. • Presentamos dos estímulos distintos y medimos la respuesta. • Que medimos? • Una posibilidad (la más utilizada) es contar espigas. Esto equivale a establecer una función f que mapea un tren de espigas en un numero. Luego podemos utilizar la distancia en los Naturales. Es decir la distancia (diferencia) entre una respuesta R1 y R2 está dada por: D = abs(N(R1) – N(R2)) donde N es el numero de espigas de R. • Todo la información que conlleva una neurona es el numero de espigas? • Acaso importa el tiempo en el que ocurren estas espigas? Vuelta a la oreja del búho.

38. Midiendo distancias entre respuestas neuronales Una distancia clásica: Contar (y luego usar distancia en los naturales)

39. Midiendo distancias entre respuestas neuronales (del saltamontes) Problema (del saltamontes y del investigador): Como reconstruir el olor a partir de la respuesta? En este caso, el conteo de espigas no alcanza… Respuesta de una neurona (del saltamontes) a distintos olores Macleod, Backer, Laurent (1998)

40. Una buena métrica en el espacio de respuestas neuronales J Victor (2005) Definir la distancia entre dos secuencias como el numero de operaciones, inserciones, deleciones, traslaciones, necesarias para pasar de una secuencia a la otra.

41. Midiendo distancias entre respuestas neuronales (del saltamontes) Una metrica que tiene en cuenta la distancia alcanza para separar cualquier para de olores (tomando la distancia al centro de cada distribucion) Problema (del saltamontes y del investigador): Como reconstruir el olor a partir de la respuesta? En este caso, el conteo de espigas no alcanza… Respuesta de una neurona (del saltamontes) a distintos olores Una manipulacion farmacologica (Picotoxina) que perturba el orden temporal sin modificar la respuesta total (baraja en el tiempo) hace que la respuesta a los olores sea inclasifcable. Macleod, Backer, Laurent (1998)

42. Un problema parecido: Similitud entre genes La métrica de comparación punto a punto funciona bien en este ejemplo, estas dos secuencias son parecidas y su distancia es corta. AGTAAGCTAGCAGCA…. AGTAAGCGGGCAGCA…. La métrica de comparación punto a punto NO FUNCIONA BIEN en este ejemplo, Una traslacion hace que punto a punto niguna base coincida y sin embargo los genes se asemejan. AGTAAGCTAGCAGCA…. XXXAGTAAGCTAGCA….

43. Métrica en el espacio de terremotos (y sus ecos) Una pregunta importante en sismología es: Dado un gran terremoto, cual es la secuencia temporal de terremotos (ecos, rebotes) que le siguen? SOLUCION, LA SECUENCIA QUE MINIMIZA LA DISTANCIA A TODAS LAS OBSERVACIONES LOS DATOS Schoenberg and Tranbarger.