§3-1 典型输入信号 §3-2 线性定常系统的时域响应 §3-3 控制系统暂态响应的性能指标 §3-4 一阶系统的暂态响应 §3-5 二阶系统的暂态响应

1. 第三章 线性系统的时域分析 • §3-1 典型输入信号 • §3-2 线性定常系统的时域响应 • §3-3 控制系统暂态响应的性能指标 • §3-4 一阶系统的暂态响应 • §3-5 二阶系统的暂态响应 • §3-6 高阶系统的暂态响应 • §3-8 线性系统的稳定性 • §3-9 劳斯稳定性判椐 • §3-11 控制系统的稳态误差 • §3-12 给定稳态误差与扰动稳态误差

2. 使用典型的输入 信号只是为了分析和设计的方便。采用典型的输入信号，可以使问题的数学处理系统化，可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。 §3-1 典型输入信号 近似 r(t) =δ(t) = δ-函数 A=1 —单位δ-函数 R(s) = 1 • 单位阶跃函数 • r(t) = • R(s) = 1/S • 单位斜坡函数 • r(t) = • R(s) = 1/S2 • 单位抛物线函数 • r(t) = • R(s) = 1/S3

3. 正弦函数 • 正弦函数输入下系统的稳态响应称系统的频率响应，由此形成了一整套控制系统的频率响应分析和设计方法 • r(t) = Asin（t+F0） 典型信号之间的关系 S=1

4. §3-2 线性定常系统的时域响应 • 线性定常系统的描述 线性常系数微分方程的解： • 输出 = 任一特解 + 对应齐次方程的通解 • 特解：电网络中常常用稳态响应作为一个特解（稳态分量） • 通解：齐次解（方程右边=0） • 零输入响应 、也称自由分量、相应稳态分量称暂态分量 • 特解：若系统稳定，稳态时输出中所有暂态分量将衰减到零，即 稳态分量与系统初始状态无关—零状态响应

5. 用拉普拉斯变换工具可以使求解更加简单 • 步骤：1、求G(s)；2、求C(s)；3、求C(t)=L-1(C(s)) • 由传递函数 • 得输出的拉普拉斯变换 将输出进行拉普拉斯反变换得输出的时域形式(单位阶跃响应)

6. §3-3 控制系统时域响应的性能指标 所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。 • 控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应——单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。 实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应， 如图3-1所示：

8. 一、暂态性能： • 1.上升时间tr 响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90 %所需的时间。 • 2.峰值时间tp 响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值所需的时间。 • 3.调节时间ts 在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取 响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。 ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。 • 4.超调量σ% 响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即

9. 超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。 • 5.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。 tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要的两个动态性能的指标。

10. 性能指标的衡量： （一）阶跃响应 Mp： 最大超调量 tp ：最大值时间 tr ：上升时间 第一次达到稳态值 ts ：调整时间 第一次进入误差带 （二）综合性能指标 便于参数寻优及性能比较 但它不能使阶跃响应的各参数均最优，甚至某些参数还可能不能用 。

11. §3-4 一阶系统的暂态响应 一阶系统的传递函数 • 方框图 R(s) C(s) • 一、一阶系统的单位阶跃响应： r(t)=1(t) • 微分方程：

12. 用拉普拉斯求取阶跃响应：r(t)=1(t) 则 R(s)=1/S • 输出由两部分组成：一部分不随时间变化—稳态分量（1）；另一部分随随时间变化—暂态分量（ ）。因此，系统的阶跃输出是随时间变化的 • t=τ时,输出到达稳态 的63.2%; • t=3τ—4τ时,过渡过程基本结束; • t→∞时,输出等于输 入值（公式中暂态项等于零）; • t=0处斜率为1/τ

13. 二、一阶系统的单位脉冲响应：r(t)=(t) 则 R(s)=1 如果将脉冲信号做积分运算 脉冲响应的积分就是阶跃响应 因为阶跃信号是脉冲信号的积分

14. 三.一阶系统的单位斜坡响应

15. c(t) r(t)=t τ t 0 单位斜坡响应曲线如图所示： 引入误差的概念： 当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实 际稳态值与给定值之差。即： 一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t- τ)= τ 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后τ, 这就存在着ess= τ的稳态误差。

16. 四、一阶系统的单位加速度响应

17. §3-5 二阶系统的暂态响应 • 标准传递函数 方框图 开环传递函数 其中ζ ——系统的阻尼比 ωn——系统的无阻尼自然振荡角频率 ——系统振荡周期

18. 阶跃响应 • 特征参数 、 • 根在根平面上的位置 • 不等负实根 1 • 相等负实根 2 • 共轭复根 3 • 共轭虚根 4 • 正（正实部）根 5 根位置不同（、不同）有不同的阶跃响应

19. 1.当0< ξ <1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根 系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。 2.当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。 3.当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。 4.当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。 下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。

20. 一、二阶系统的单位阶跃响应（不同参数(、n)下一、二阶系统的单位阶跃响应（不同参数(、n)下 不同系统（就是不同参数、n ）下，二阶系统的阶跃响应有不同的形态，通过分析参数、n 与二阶系统的阶跃响应的关系可以很容易揭示其本质

21. 输出也是由两部分组成： • —稳态分量 =1 • —暂态分量 两个形如脉冲响应部分 ，随时间变化的 • 暂态分量： • 响应随t的增加逐渐单调衰减到零；后一个分量衰减更快。 t→∞时,输出等于输 入值（=1，暂态项等于零）。 无最大超调量，调节时间

22. 根分布

23. 根分布

24. 阶跃响应是随时间单调上升的 • 当 t∞响应趋于稳态值

25. 临界阻尼（ =0 ）时二阶系统阶跃响应的误差

26. 3、 根分布 此时根的特点：共轭复数 阶跃响应是振荡的，由于根的实部为负，所以，振荡的幅值随时间的增加而衰减，最终趋于零

27. . 11 .

28. 阶跃响应 • 与极点分布：

29. 阻尼比 无阻尼自然振荡频率 阻尼自然振荡频率 临界阻尼

30. 当（>=1）时阶跃响应没有超调，此时， • 上升时间的定义修改如下：

31. 二阶系统阶跃响应的特征量 • 1） 二阶系统阶跃响应的特征量有： • 上升时间 • 峰值时间 • 百分比超调量 • 调节时间 • 衰减比 • 第一次达到稳态值时间 • 到达最大值时间 • 第一次进入误差带时间 • 第二超调量与第一超调量之比 • 误差带：

32. 二阶系统阶跃响应的特征量的计算： • 上升时间 tr • 依定义有： ！第一次到达

33. 峰值时间 tp • 令： ！第一次到达

34. 百分比超调量 Mp%

35. 用包络线近似来简化计算： • 取得包络线方程：

36. 调节时间 ts • 符合上式答案有多个，如下图

37. 当 • 当 • 其中 • 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 • -0.02 -0.087 -0.144 -0.223 -0.337 - 0.51 • 适用

38. 二、二阶系统的单位脉冲响应 • 可由阶跃响应求导数得到 • 衰减比 • 振荡次数

39. c(t) r (t) 1 - + τ s 四、传递函数含有零点的二阶系统响应 下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号和偏差信号微分的双重控制。试分析系统性能。

40. 系统开环传递函数 闭环传递函数: 等效阻尼比：

41. 增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降,调节时间缩短,然而开环增益k保持不变,它的引入并不影响系统的稳态精度,同时也不改变系统的无阻尼振荡频率wn。而且,比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s=-1/τ前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。由于稳态误差与开环增益成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td, 即可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。

42. c(s) R(s) - - τ s 例3.图: 是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。 解:系统的开环传递函数为

43. 式中τ为速度反馈系数. 为系统的开环增益。 (不引入速度反馈开环增益 ) k有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系统的精度。

44. 闭环传递函数 显然 ，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率wn,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。 等效阻尼比：

45. 在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻尼比ξt增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻尼比ξt增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。

46. §3-8 线性系统的稳定性 一、稳定性的概念 定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。 •上述稳定是“渐近稳定”的 •“线性”系统通常是线性化的 因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论

47. 例 如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到 点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。 如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。 定义:若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不稳定。 我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。

48. 二、稳定的充要条件 根据系统的阶跃响应输出表达式 齐次解 暂态分量 零输入响应 自由分量 •只要Si<0或当它为复数时，其实部 -kk<0 即：系统所有的闭环特征根在根平面的左半面，系统阶跃响应的暂态分量随时间t趋于无穷而趋于零，此时，系统是渐进稳定的。 •如果至少有一个根Si>0或有实部 -kk>0的根，即：在根平面的右半面有系统的闭环特征根，那麽，系统阶跃响应的暂态分量中，该输出分量随时间t趋于无穷而趋于无穷大， 也就是，系统是不稳定的。