第三讲 Newton 插值

1. 第三讲Newton插值

2. 第三讲主要知识点 • 牛顿（Newton）插值及余项、差商的定义与性质； • 埃尔米特(Hermite)插值公式及余项； • 等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值* 。

3. 函数插值问题描述 • 设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值： • 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。

4. Newton插值 求作n次多项式 使得：

5. 插值问题讨论 Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 li(x) 都需重新算过。

6. Newton插值的承袭性

7. Newton插值

8. 具有承袭性的插值公式 线性插值公式可以写成如下形式： 其中 ，其修正项的系数 再修正 可以进一步得到拋物插值公式 其中 以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，需要引进差商概念并研究其性质。

9. 差商的概念 1．差商的定义 定义1：设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等 的x0, x1,…, xn（即在i  j时，x i xj）的值 f(xi),称 为f (x)在点xi , xi处的一阶差商，并记作f [xi , xj]，

10. 差商的概念(续) 又称 为　　在点 　　　　处的二阶差商 称 为f (x)在点　　　　　处的n阶差商。　

11. 差商表 由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。

12. 差商形式的插值公式 再考虑拉格朗日插值问题： 问题 求作次数 多项式 ，使满足条件， 利用差商其解亦可表达为如下形式： 这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。

13. Newton插值 容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。 由插值多项式的唯一性，得 牛顿插值多项式的误差估计

14. Newton插值(续) 牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时， 只要再增加一项就行了，即有递推式:

15. 例题分析

16. 例题分析（续1）

17. 例题分析（续2）

18. Hermite插值多项式 在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅 要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。 把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite） 插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。

19. 要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式 其余项为 Hermite插值多项式（续1） N个条件可以确定 阶多项式。 N 1

20. 使得满足插值条件 Hermite插值多项式（续2） 已知函数 在区间[a,b]上n个互异点 处的函数值 ， 以及导数值 ，求

21. 简化问题描述 使得满足插值条件

22. Hermite插值多项式 构造方法：（类似Lagrange 插值基函数） 构造各个节点的插值基函数 Hermit插值函数可表成

23. 两点三次Hermit插值 已知： 使得满足插值条件

24. 两点三次Hermit插值（续1） 直接设 待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数 使之满足

25. 两点三次Hermit插值（续2） 的情形。 为方便起见，先考虑 ， ， ， 在一般情形下，只需作变换

26. 两点三次Hermit插值（续3） 相应的基函数为： ， ， ，

27. 两点三次Hermit插值（续4） 从而Hermite插值多项式为

28. 两点三次Hermit插值（续5） 算例：已知对数函数在两点处的值及导数值 用三次Hermit多项式求 的近似值 ln 1.5 0.409074 =

29. 一般的Hermit插值 设在n+1个节点 给出函数值和导数值 要求插值多项式 满足 满足这些条件的插值多项式就是Hermit插值多项式。其构造方法和两点情况类似，不再重复。

30. 高次插值的龙格现象 对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数 ,设将区间 分为 等份， 表取 个等分点作节点的插值多项式，如下图所示，当 增大时， 在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓龙格现 象。

31. 龙格现象

32. 分段插值的概念 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划 并在每个 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一 起，作为整个区间 上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数 在分划 的每个子段上都是 次式，则称为具有分划 的分段 次式。

33. 分段插值 1.分段线性插值； 2.分段抛物插值； 3.分段低次多项式插值； 原因：高次插值会发生Runge现象。 逼近效果并不算太好！

34. 分段线性插值 满足条件 具有分划 的分段一次式 在每个子段 上都具有如下表达式：

35. 分段三次埃尔米特插值 问题 求作具有分划 的分段三次式 ，使成立 解 由于每个子段 上的 都是三次式，且满足埃尔米特插值条件： 所以 其中 ，且有

36. 样条函数的概念 所谓样条函数，从数学上讲，就是按一定光滑性要求“装配”起来的分段多项式，具体的说，称具有分划 的分段 次式 为 次样条函数，如果它在每个内节点 上具有直到 阶连续导数。点 称为样条函数的节点。 特别地，零次样条 就是人们熟知的阶梯函数，一次样条 则为折线函数。

37. 样条函数插值 　　插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。 　　这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为——样条插值。

38. 样条函数插值（续1） 插值函数。

39. 样条函数插值（续2） 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别 在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值 （除了在2个端点可能需要）；而Hermite 插值依赖于f 在所有插值点的导数值。 H(x) f(x) S(x)

40. 本讲结束！谢谢大家！再见！