第五节 数值微分

1. 第五节 数值微分 在实际问题中，往往会遇到某函数f(x) 是用表格 表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他 方法近似求导。常用的数值微分方法有: • 一. 运用差商求数值微分 • 运用插值函数求数值微分 • 三. 运用样条插值函数求数值微分 • 四. 运用数值积分求数值微分

2. 一. 运用差商求数值微分 最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商.

4. 利用Taylor展开可导出数值微分公式并估计误差.利用Taylor展开可导出数值微分公式并估计误差.

5. 一阶导数的三点公式： 证明: 同样的方法可以得到其它的三点公式是：

7. 若取数值微分公式 误差为: 二、运用插值函数求数值微分 设Ln(x)是f(x)的过点{x0 ，x1 ，x2 ，…xn } [a，b]的 n 次插值多项式，由Lagrange插值余项,有对任意给 定的x[a，b]，总存在如下关系式:

8. 因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值 称为n+1点求导公式。

9. 常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式. 当n=1时,有

10. 例1设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f’(x0)。

11. 当n=2时,有 当节点等距时，即有 x1=x0+h, x2= x0+2h, h>0, 上述公式可简化为

12. n=2时，计算 f’(x0)的误差是 O(h2),且（4） 的误差最小。 有时，也将xi统一表为x0,将上述公式写成如下形式

13. 例2设f(x)=xex，x0=2，用3点公式计算f’(x0)。

14. 用5点公式计算f’(2) ： 公式(4)计算f’(2)较准确。 由（6）， f’(2) ≈22.166996，误差为：1.69×10-4 当n=4时,可得到5点公式：

15. 5点公式计算f’(x0)的误差是O(h4),且中点公式（6）的误差小于端点公式（7）。5点公式计算f’(x0)的误差是O(h4),且中点公式（6）的误差小于端点公式（7）。

16. 在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断 误差，而且还要考虑公式的舍入误差。

17. 计算f ’(x0)的总误差是： 误差界为：e(h)=e/h +(h2/6)M, 这里 e=max︱e(x0±h) ︱,M= max ︱ f(3)(x)︱ 从截断误差 (h2/6)f(3)(ξ1）的角度看，h越小误差越小。但从舍入误差的角度看，h不能太小。 例3设 f(x)=sin x，计算f’(0.900)=cos0.900的近似值。

18. 解：利用公式

19. 三. 运用样条插值函数求数值微分 用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点处函数f(x)的一阶导数和二阶导数的近似值. 四. 运用数值积分求数值微分

20. 得到

21. 解：将数值积分公式代入

24. 二版习题 试导出以下数值微分公式,并估计截断误差. 三版习题 P251----19