线 性 代 数 综 合 练 习 题 （二） - PowerPoint PPT Presentation

线 性 代 数 综 合

练 习 题

（二）

；

。

2、设

则存在可逆阵 P，使 P-1AP=B，其中

P=

。

一、填空题

1、四阶方阵A的特征值为

1、3、4、5，

3、已知四阶行列式D的第三行

元素分别为 -1，3，2，0，第

二行元素的余子式依次为 5，

-2， ，4，则 = 。

解得

解：因为行列式第三行元素与第二行元素对应的代数余子式乘积之和为零，所以有

4、已知 是满秩方阵，且

则 的秩为 。

解：因为A为满秩矩阵，所以A可以写成有限个初等矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相当于对矩阵B进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵的秩，所以矩阵B的秩等于AB的秩。而AB的秩为1，所以B的秩为1。

5、设1是实对称阵 的一个

特征值，且 ，

=

则

。

解：

又因为1是实对称矩阵A的一个特征值，

1、设 线性无关，

则下列向量组线性相关的是

（ ）；

二、选择题

解；设一组数 使

线性无关，所以

解得

令

则有一组不全为零的数使

所以选（A）

2、设A是n阶矩阵，且A的行列式

则A中 ；

解：由 可知，A的列向量组是线性相关的，

所以其中至少有一个列向量可由其余列向量线性表

示，因此选（C）。

（A）必有一列元素为零；

（B）必有两列元素对应成比例；

（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合；

（D）任一列向量是其余列向量的线性组合。

3、设A,B均是n阶正交阵,若

则

A+B必为( )

(A)、初等阵； (B)、正交阵；

(C)、对称阵； (D)、奇异阵。

解：

选（C）

4、已知

则 = ( )

解：选（C）

5、设β能由 线性表示，

但不能由 线性表示，

则( )；

(A)、 不能由 线性表示，

但能由β， 线性表示；

(B)、 不能由 线性表示，

也不能由β， 线性表示；

(C)、 能由 线性表示，但不能由β，

线性表示；

(D)、 能由 线性表示，也能由β，

线性表示。

解：若 能由 线性表示 ，因为 能由 ， 线性表示，则 能由 线性表示，与已知矛盾，所以不能选（C）（D）；

若 能由 ， 线性示，则有

，

可由

线性表示，

与已知矛盾，所以选（B）

三、计算题

1、解矩阵方程

解：由已知得

对矩阵

施行初等行变换

2、设

求

解：对矩阵（A E）施行初等行变换

3、验证

的一个基，并求

在这组基下的坐标。

解：

的一个基

为

令

求

就是解方程组

对矩阵

施行初等行变换

所以 在这组基下的坐标为2，3，-1。

4、设

求矩阵A的秩及

A的列向量组的极大无关组。

解：对矩阵A施行初等行变换

所以矩阵A的秩为3，第一列、第二列、

第三列为A的列向量组的一个极大无关组。

1、若n阶可逆阵A的任意行元素

之和都等于 ，证明： 为矩阵A

的一个特征值，且 ≠0。

因为

所以

为矩阵A的一个特征值。

四、证明题

证：由已知

2、矩阵 A 满足 A2+ 6A + 8E=0，

且A=AT

， 证明：A+3E是正交阵。

证：由

所以A+3E为正交矩阵。

3、知向量组 是齐次

线性方程组AX=0的基础解系，且

证明：向量组 也是

AX=0的一个基础解系。

为

解：

为

齐次线性方程组的基础解系，故

齐次线性方程组的解，所以只需证 线性无关，

所以

解得

所以

亦是齐次线性方程组的基础解系。

线性无关，

已知A有3个线性无关的特征向量，

(1)、 的值。

= 2是 的二重特征值，求：

(2)、求一个可逆阵 ，使

五、设

解：由题意可知，A可对角化，必有R（A-2E）= 1，于是

(1)、 取什么值时， 能由 唯一的线

性表示，并写出表达式；

(2)、 取什么值时， 能由 线性表示；

(3)、 取什么值时， 能由 多种线性

表示，并写出表达式。

六、已知

解：对矩阵

施行初等行变换

表示式为

证：设

是A的

特征值，因A是正定矩阵，

七、设A是正定阵，试证存在

正定阵B，使得A=B2。

且存在正交矩阵P，使

其中

显然B为正定阵，且有

完

解：一、1、

2、A经过第一行与第二行交换，再进行第一列与第二列交换，然后第二行与第三行交换，再进行第二列与第三列交换即得B。而每次初等行变换相当于用一个初等矩阵左乘矩阵A，每次列变换相当于用一个初等矩阵右乘矩阵A。所用的初等矩阵为

，

因为

所以