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中考复习研讨课

中考复习研讨课. 探索抛物线上点的存在性问题 沈阳市第 43 中学 李舒宇. （ 2007 成都市）在平面直角坐标系中，已知二次函数 y ＝ ax 2 + bx ＋ c 的图象与轴交于两点 A 、 B （点 A 在点 B 的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为 1 ，且过点和． （ 1 ）求此二次函数的表达式； （ 2 ）若直线与线段交于点 D （不与点 B 和 C 重合），则是否存在这样的直线 l ，使得以 BOD 为顶点的三角形与 △ ABC 相似？ 若存在 ，求出该直线的函数表达式及点 D 的坐标； 若不存在 ，请说明理由；

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  1. 中考复习研讨课 探索抛物线上点的存在性问题 沈阳市第43中学 李舒宇

  2. （2007成都市）在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ax2+ bx＋c的图象与轴交于两点A 、B（点A在点B的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和． （1）求此二次函数的表达式； （2）若直线与线段交于点D（不与点B和C重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若P点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时点的P横坐标的取值范围． （2008沈阳市）在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BOx在轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y＝ax2+ bx＋c过点A,E,D． （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以O,B,P,Q点为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1．(2006武汉市)已知：二次函数y＝x2-(m＋1)x＋m的图象交x于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交y轴正半轴于点C，且x12＋x22＝10． ⑴求此二次函数的解析式； ⑵是否存在过点D(0，- 5 )的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

  3. 存在探索型问题指的是在一定的条件下需探索发现某种数学关系是否存在的题目。存在探索型问题指的是在一定的条件下需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

  4. 解：∵点A在y轴右侧的抛物线上 ∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，－x2＋2) 假设AB＝AD，则－x2＋2＝2x 解得x＝－1－ (舍)，或x＝－1＋ 又l＝8x ∴当x＝－1＋ 时，l＝-8+8 时 矩形ABCD能成为正方形； y D A x C B 例1 （07山西省改编）抛物线的解析式为：y＝－x2＋2,点 A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，得到矩形ABCD．是否存在这样的点A，使矩形ABCD成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由． y

  5. 例2（05毕节改编）如图，抛物线y=- x2+3上是否存在一点P使△PBC≌△OBC,若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 P C A O B 由y=- x2+3，解得x=±3，∴B点坐标（3，0）。 假设存在一点P使△PBC≌△OBC， 因为△OBC是等腰直角三角形，BC是公共边，故P点与O点必关于BC所在直线对称， ∴点P坐标是（3，3），当x=3时，y=- ×32+3≠3， 即点P不在抛物线上，所以不存在这样的点P，使△PBC≌△OBC。 分 析

  6. y y a E P（a，a2-4a） a2-4a O O O x x F M M（2，-4） M（2，-4） 2 反演推理法：假设结论成立，根据假设进行推理，看推出结论是否与已知条件一致，这样的推理方式叫反演推理法。 练习1（06威海市改编）抛物线y=x2-4x,顶点为M点，试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=900，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标。 分析 答案：P( , ) M(2，-4)

  7. 抛物线上点的存在性问题解题关键 • 利用“反演推理法”，在解题过程中把点坐标是否满足抛物线解析式为解题关键。

  8. y A O B C O B x B O D1 D2 D2 D1 练习2（2007山东临沂改编）如图，已知抛物线y=- x2+x 若点C在抛物线的对称轴上，是否存在这样的点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的平行四边形，若有求出D点的坐标；若没有，说明理由。 (D3) 答案：D1（6，-3）， D2(-2,-3) ，D3 (2，1)

  9. 分类讨论法： 当命题的题设和结论不唯一确定，做到既不重复又不遗漏，则需要按可能出现的情况分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果，这样的推理方式叫做分类讨论法。

  10. 探索点存在性问题的收获

  11. E D A C B F 思考题 (08厦门市)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCDEF(AB＞AD)，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交边AD于E，交边BC于F，分别连结AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，⊿ABF的面积为24cm2，求⊿ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得？2AE2=AC﹒AP. 若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

  12. 祝大会圆满成功 制作人：王胜任 李舒宇

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